Пусть x  — длина об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра, у ко­то­ро­го диа­го­наль в осе­вом се­че­нии равна  дм. Ка­ко­ва долж­но быть x, чтобы объем был мак­си­маль­ный?

Най­ди­те для функ­ции пер­во­об­раз­ную F, гра­фик ко­то­рой про­хо­дит через за­дан­ную точку

Пред­ставь­те число 61 в виде суммы двух по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых так, чтобы сумма куба пер­во­го сла­га­е­мо­го и вто­ро­го, умно­жен­но­го на 12, была наи­мень­шей.

Ка­ки­ми долж­ны быть сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го участ­ка пло­ща­дью 1600 м², чтобы на его ограж­де­ние было из­рас­хо­до­ва­но наи­мень­шее ко­ли­че­ство ма­те­ри­а­ла?

Из всех пря­мо­уголь­ни­ков, име­ю­щих пло­щадь 20,25 най­ди­те сто­ро­ны того, ко­то­рый имеет наи­мень­ший пе­ри­метр.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме сумма длин всех 12 ребер равна 160 см. Най­ди­те объем приз­мы при усло­вии, что пло­щадь ее бо­ко­вой по­верх­но­сти яв­ля­ет­ся наи­боль­шей.

Пусть x  — длина вы­со­ты пра­виль­ной пи­ра­ми­ды MABCD, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно дм. Вы­ра­зив объем V(x) пи­ра­ми­ды как функ­цию от x, най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны MC до BDM в пи­ра­ми­де, име­ю­щей

Пусть x  — длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной пи­ра­ми­ды MABC. Сумма длин сто­ро­ны ос­но­ва­ния и вы­со­ты пи­ра­ми­ды равна 3 дм. Вы­ра­зив объем пи­ра­ми­ды как функ­цию от x, най­ди­те рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния вы­со­ты пи­ра­ми­ды до плос­ко­сти бо­ко­вой грани в пи­ра­ми­де, име­ю­щей

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды MABC рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, пря­мая MB пер­пен­ди­ку­ляр­на ABC, м. Най­ди­те наи­боль­ший объем пи­ра­ми­ды.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна дм. Най­ди­те длину ра­ди­у­са ос­но­ва­ния ко­ну­са, при ко­то­рой объем ко­ну­са будет наи­боль­шим.

Най­ди­те наи­боль­ший объем пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой сумма длин сто­ро­ны ос­но­ва­ния и вы­со­ты пи­ра­ми­ды равна 3 дм.

Най­ди­те длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са, име­ю­ще­го наи­боль­ший объем, если сумма длин вы­со­ты ко­ну­са и ра­ди­у­са ос­но­ва­ния равна 3 дм.

Сумма трех из­ме­ре­ний пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, в ос­нов­ном ко­то­ро­го квад­рат, равна 3 м. Най­ди­те вы­со­ту па­рал­ле­ле­пи­пе­да, у ко­то­ро­го длина диа­го­на­лей наи­мень­шая.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ пря­мые равны м и м. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да, име­ю­ще­го наи­боль­ший объем.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де сумма длин вы­со­ты пи­ра­ми­ды и ребра ос­но­ва­ния равна 10 м. Най­ди­те вы­со­ту пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой длина ана­фе­мы наи­мень­шая.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды MABCD  — квад­рат ABCD. Пря­мая MB  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Объем пи­ра­ми­ды равен 9. Пусть x  — длина BM и Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние (MD)².

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де MABC вы­со­той яв­ля­ет­ся [MD], из­вест­но, что и Най­ди­те длину [AC], при ко­то­рой объём пи­ра­ми­ды будет наи­боль­шим, зная, что

Диа­го­наль осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна Най­ди­те наи­боль­ший воз­мож­ный объём этого ци­лин­дра.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме длина диа­го­на­ли равна а вы­со­та может при­ни­мать любые зна­че­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку Какой долж­на быть вы­со­та приз­мы, чтобы объём приз­мы был наи­боль­шим?

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де сумма длин сто­ро­ны ос­но­ва­ния и апо­фе­мы равна 3. Длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды может при­ни­мать любые зна­че­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку (0; 2). Ка­ко­ва долж­на быть ве­ли­чи­на дву­гран­но­го угла при сто­ро­не ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, чтобы пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды была наи­боль­шей?

Пе­ри­метр осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равен При какой длине ра­ди­у­са ос­но­ва­ния ци­лин­дра его объём будет наи­боль­шим?

Какую наи­боль­шую пло­щадь может иметь се­че­ние пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через диа­го­наль ос­но­ва­ния и вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если апо­фе­ма пи­ра­ми­ды равна

Какую наи­боль­шую пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти может иметь пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма, диа­го­наль ко­то­рой равна

Какой наи­боль­ший объём может иметь пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, диа­го­наль бо­ко­вой грани ко­то­рой

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де MABC, где MO  — вы­со­та, и При каком зна­че­нии AC объем пи­ра­ми­ды будет наи­боль­шим, при каком  — наи­мень­шим?

Не­об­хо­ди­мо из­го­то­вить от­кры­тую банку ци­лин­дри­че­ской формы объ­е­мом 1 дм³. При каком ра­ди­у­се ос­но­ва­ния рас­ход жести на ее из­го­тов­ле­ние будет наи­мень­шим?

Най­ди­те длины сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка с пе­ри­мет­ром 20 см, име­ю­ще­го наи­мень­шую диа­го­наль.

Пред­ставь­те число 3 в виде суммы двух по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых так, чтобы сумма утро­ен­но­го пер­во­го сла­га­е­мо­го и куба вто­ро­го сла­га­е­мо­го была наи­мень­шей.

Число 12 пред­ставь­те в виде суммы двух по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых так, чтобы сумма куба пер­во­го сла­га­е­мо­го и утро­ен­но­го вто­ро­го сла­га­е­мо­го была наи­мень­шей.

Най­ди­те длину наи­боль­ше­го от­рез­ка, па­рал­лель­но­го оси OY и за­клю­чен­но­го внут­ри фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

На гра­фи­ке функ­ции най­ди­те точку M с по­ло­жи­тель­ной абс­цис­сой, бли­жай­шую к точке

На гра­фи­ке функ­ции най­ди­те точку, бли­жай­шую к точке

Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные пра­виль­ные тре­уголь­ные приз­мы, каж­дая бо­ко­вая грань каж­дый из ко­то­рых имеет пе­ри­метр, рав­ный Най­ди­те среди них приз­му с наи­боль­шим объем (в от­ве­те ука­жи­те бо­ко­вое ребро такой приз­мы).

Диа­го­наль бо­ко­вой грани пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна d. Най­ди­те длину бо­ко­во­го ребра, при ко­то­ром объем приз­мы наи­боль­ший.