О выпускных экзаменах
Все варианты на странице «Варианты».

Быстрый поиск: Ученику.

Тематический каталог: Каталог.


Гущин Д. Д.
О выпускных экзаменах по математике

С июня по декабрь 2021 года я был занят поистине огромной работой. Я собирал, решал и готовил к публикации варианты российских выпускных экзаменов по математике, проводившихся с 1967-го по 2008 год — последнего года перед тем, как на смену выпускным экзаменам пришел ЕГЭ. В результате появился сайт https://экзамены.решуурок.рф. Здесь собрано больше полутысячи экзаменационных вариантов, содержащих около 4 тысяч задач с подробными решениями.

Моей первоначальной целью было собрать воедино и сделать доступными учителям и учащимся хранящиеся в моих архивах задания середины 90-х  — начала 2000-х годов. В то время экзамены проводились на четырёх уровнях: гуманитарном, соответствующем сокращённой программе по математике, базовом уровне, расширенном  — такие экзамены составлялись для учащихся физико-математических классов  — и на углублённом уровне, предназначенном для выпускников, заканчивающих математические классы. Программы для этих классов отличались количеством часов, отведенных на математику, и изучаемыми темами. Отличие было значительным: задания углублённого уровня нередко были сложнее задач вступительных экзаменов в вузы. Тем не менее, все варианты состояли из шести задач, а на пятерку можно было решить любые пять из них. Мое дело казалось простым: еще 20 лет назад эти варианты были набраны мною в Ворде, оставалось решить пару сотен задач и перенести всё в интернет. Но всё пошло не совсем так.

По мере работы я понял, что могу сделать больше. На моей книжной полке стоит изданное в 1990 году замечательное пособие для учителей М. Л. Галицкого и др., в котором приведены условия выпускных экзаменов для математических классов 1982—1988 годов. В 1990-м году авторы и не догадывались, что когда-нибудь изобретут интернет, но математические задачи ничуть не постарели. После того, как я их добавил, между заданиями 1988 и 1993 годов появилась пустота. Но я знал, где искать. Я поехал в читальные залы Российской национальной библиотеки.

Варианты 1991—2003 годов публиковались в выпусках библиотечки журнала «Математика в школе», давно ставшими библиографической редкостью. Если бы ещё с тех времен у меня не было нескольких выпусков, я никогда бы не догадался о существовании оставшихся. Но они у меня были, и я знал, насколько они хороши. В каждом выпуске публиковалось несколько комплектов экзаменационных работ для различных часовых поясов, а каждая работа приводилась в двух вариантах, частично или полностью с решениями. Авторами были сами составители экзаменационных заданий: Е. А. Бунимович, Л. И. Звавич, Б. П. Пигарев, Е. Б. Пронина, Л. Я. Шляпочник.

Признаться, я некоторое время размышлял над тем, публиковать ли авторские решения из этих книжек или же написать свои. Второе было гораздо быстрее: авторы сборников хотели не просто решить задачи самым коротким способом, но анализировали разные решения, различные способы оформления решений, приводили адресованные учителям комментарии. По некоторому размышлению я решил, что этот ценный методический труд, более недоступный учителям, не должен остаться лишь в архивах нескольких крупных библиотек. Я позвонил главному редактору журнала «Математика в школе» Евгению Абрамовичу Бунимовичу. В том теплом июльском разговоре мы сказали друг другу, что если не собрать и не опубликовать варианты сейчас, их будет не собрать уже никогда. Евгений Абрамович благосклонно дал разрешение на публикацию имевшихся решений и комментариев к ним. Я бережно сохранил авторский текст, устранив изредка встречавшиеся опечатки и неточности, лишь иногда дополняя решение пропущенными выкладками, чтобы решения могли без труда быть понятыми нынешними школьниками. Лишь однажды в задании 3537 я встретил противоречащую школьным учебникам рекомендацию, о чем дал развернутый комментарий.

Работа над вариантами увлекала меня. Как-то в июле в течение нескольких дней я просматривал все выпуски журнала «Математика в школе» с 1960 года до 1990 года. Как ни странно, но этот авторитетный и единственный адресованный учителям математики журнал всего трижды за тридцать лет публиковал задания выпускных экзаменов: в 1968 году, когда школы СССР переходили от устного экзамена по алгебре и началам анализа к письменному экзамену, в 1987 году, рассказывая об экспериментальном задачнике и проведенном по нему в 1986 году экзамене, и в 1989 году, при обсуждении настолько сложного и с ошибками составленного экзамена для математических классов Москвы, что его обсуждение вышло далеко за рамки школьных учительских. Вот этот вариант, а вот его обсуждение в № 1 МШ, 1989.

Задания 1989 года я смог найти в брошюре Ю. П. Дудницына и В. К. Смирновой, выпущенной во Львове в 1991 году под эгидой Всесоюзной ассоциации учителей математики. Полностью публиковался только первый вариант, второй я подбирал из аналогичных заданий, рассеянных там среди упражнений. Экзамены других лет я долго безуспешно искал у знакомых. И наконец мне повезло.

Преподававший в конце 70-х годов в 165-й школе военного городка Тула-50 Минобороны СССР Р. Г. Гилемханов сохранил экзаменационные задания 1977—1981 и 1983—1986 годов. Почтовая компания за один день доставила их мне в Петербург. Рассматривая пожелтевшие листы, я с удивлением прочел пометки у названий вариантов: основной, запасной, дополнительный и осенний. Было ясно, что дополнительный и осенний варианты предназначены для проболевших или несдавших. Но запасной? Радиф Галиевич рассказал мне, что ко дню проведения экзамена в школы присылалось два конверта. «Основной» директор школы выдавал учителям за час до экзамена, учителя должны были решить задания и потом записать условия задач на доске (я помню, что так было и в 90-е годы, когда я сам учился в школе). Так вот если в присланном варианте учителями обнаруживалась опечатка или ошибка, не позволявшая решить задание, вскрывался запасной пакет. Не знаю, было ли это повсеместной практикой или только в школах Минобороны.
  1. Аверьянов Д. И. и др. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения. Вып. 1. — М.: Школа-Пресс, 1993.
  2. Аверьянов Д. И., Звавич Л. И. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения. Вып. 2. — М.: Школа-Пресс, 1993.
  3. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения. Вып. 3. — М.: Школа-Пресс, 1994.
  4. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения. Вып. 4. — М.: Школа-Пресс, 1995.
  5. Бунимович Е. А., Пигарев Б. П. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения. Вып. 5. — М.: Школа-Пресс, 1996.
  6. Бунимович Е. А., Пигарев Б. П. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения. Вып. 6. — М.: Школа-Пресс, 1997.
  7. Пигарев Б. П., Пронина Е. Б. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы. Условия и решения. Вып. 8. — М.: Школа-Пресс, 1998.
  8. Пигарев Б. П., Пронина Е. Б. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы. Условия и решения. Вып. 12. — М.: Школьная Пресса, 2000.
  9. Пигарев Б. П., Пронина Е. Б. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы. Условия и решения. Вып. 14. — М.: Школьная Пресса, 2001.
  10. Пигарев Б. П., Пронина Е. Б. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения (по итогам 2000/01 учебного года). Вып. 18. — М.: Школьная Пресса, 2002.
  11. Под ред. Верченко А. И. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения (по итогам 2001/02 учебного года). Вып. 25. — М.: Школьная Пресса, 2003.
  12. Под ред. Верченко А. И. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения (по итогам 2002/03 учебного года). Вып. 30. — М.: Школьная Пресса, 2004.
  13. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М.: Просвещение, 1990.
  14. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс A) и алгебре и началам анализа (курс B) за курс средней школы 11 класс. М.: ООО Дрофа, 2005.
  15. Дудницын Ю. П., Смирнова В. К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа за курс средней школы (по материалам экзаменов в школах России, Украины и Белоруссии). Львов: Квантор, 1991.
  16. Иванов О. А. Практикум по элементарной математике: Алгеброаналитические методы. М.: МЦНМО, 2001.
  17. Карп А. П. Сборник задач для подготовки к выпускным экзаменам по алгебре и начала анализа. М.: ООО Оракул, 1997.
  18. Карп А. П. Сборник задач для подготовки к выпускным экзаменам по алгебре и начала анализа. М.: Базис, 1999.
  19. Карп А. П. Письменные выпускные экзамены по алгебре в России за 100 лет. СПб: изд-во Санкт-Петербургского государственного университета педагогического мастерства, 1998.
  20. Личные архивы Д. Д. Гущина, Р. Г. Гилемханова, М. Я. Пратусевича.

Коллекция выпускных экзаменов была бы неполной без уникальных Санкт-петербургских вариантов. За пределами Петербурга мало кому известно, что еще в 1990-м году в Петербурге (тогда в СССР, ещё в Ленинграде) стали проводиться необычные экзамены. Вместо обычных упорядоченных по сложности шести задач ленинградские варианты составлялись на французский манер из нескольких заданий-сюжетов, объединенных общей темой — так и сейчас проводят экзамены во Франции.

Со временем петербургские экзамены стали проводиться на четырех уровнях: гуманитарном, базовом, углубленном и профильно-элитарном. Школьникам, изучавшим математику на базовом уровне, предлагалось 4 различных сюжета, в каждом по четыре задания: тригонометрия, показательная и логарифмическая функции, иррациональности и сюжет, посвященный началам высшей математики. Первые два сюжета были обязательными, а из двух оставшихся ученики выбирали один по своему вкусу (можно было решить оба дополнительных сюжета, в таком случае оценивались три лучших). Три сюжета давали набор из 12 заданий, на пятерку необходимо было решить любые 10 из них.

Аналогично составлялись петербургские варианты для учащихся, изучавших математику углубленно: на экзамене предлагалось 5 сюжетов, среди которых три были на выбор. Один всегда был о комплексных числах, а два других, меняясь год от года, касались многочленов, рациональных или иррациональных функций, производной и интегралов.

Уникальными были и профильно-элитарные варианты. Проводились они в конце мая до официального выпускного июньского экзамена и сдавались только желающими, для которых были не только выпускными экзаменами из школы, но и вступительными экзаменами на математико-механический факультет Ленинградского (позже Санкт-Петербургского) государственного университета. Профильно-элитарные экзамены проводились до 2002 года. Отсутствовавшие у меня условия, а также часть решений экзаменов 1990—2001 годов цитируются здесь по книге О. А. Иванова «Практикум по элементарной математике», разрешение на публикацию любезно предоставила В. В. Иванова. Условия экзамена 2002 года сохранились у директора 239-г президентского физико-математического лицея Максима Яковлевича Пратусевича, которому в свое время передал их составитель, профессор Санкт-Петербургского государственного университета Олег Александрович Иванов. Он же в то время составлял задания математических олимпиад для абитуриентов СПБГУ. Олегу Александровичу посвящена отдельная страница нашего сайта (перейти).

В новейшей истории выпускных экзаменов по математике были два поворотных момента: 2009 год, когда на смену выпускным экзаменам пришел совмещённый экзамен ЕГЭ — выпускной из школы и одновременно вступительный в вузы, и 2001 год, явившийся его предвестником. Дело было в утечках экзаменационных работ. Массовых смартфонов с хорошими экранами и быстрым подключением к интернету в то время еще не было, но интернет уже был. Варианты же хранились плохо, и летом 2001 года задания оказались в интернете накануне экзаменов. Стало ясно, что так больше нельзя. Начался эксперимент по введению ЕГЭ, а на переходный период форму выпускного экзамена изменили.

Справедливости ради надо отметить, что утечки экзаменационных заданий по математике (как и тем выпускного сочинения) происходили постоянно. По воспоминаниям методиста кабинета математики Ленинградского института усовершенствования учителей (ныне академия педагогического мастерства) В. Б. Некрасова, руководившего тогда проведением выпускных экзаменов, причиной появления в Ленинграде своих собственных вариантов было как раз то, что варианты, рассылаемые из Москвы в российские регионы, в Ленинграде накануне экзамена продавались за недорого у Казанского собора. Впрочем, покупали экзаменационные варианты не только в прошлом, но и позапрошлом веке. Любопытное свидетельство об этом оставил А. Н. Наумов, будущий министр земледелия царской России, учившийся вместе с В. И. Лениным: «бок о бок, сидя рядом на парте в продолжение всех шести лет и, в 1887 году, окончили вместе курс. В течение всего периода совместного нашего с ним учения мы шли с Ульяновым в первой паре: он — первым, я — вторым учеником, а при получении аттестатов зрелости он был награжден золотой, я же серебряной медалью». Их класс в 1887 году собрал деньги и купил экзаменационные задания за неделю до их проведения. Этого он стыдился до конца жизни.


...Но тут приключилось одно обстоятельство, мною лично совершенно непредвиденное, о котором, как ни стыдно, а приходится упомянуть.

Дело в том, что из года в год при производстве выпускных письменных испытаний практиковался в Учебном Округе следующий порядок: все темы по экзаменационным предметам (по словесности, математике — алгебраические, геометрические и тригонометрические задачи, переводы на древние и новые языки) вырабатывались заранее в особом отделе Учебного Округа. Содержание их должно было храниться в величайшем секрете; в запечатанных конвертах эти темы подлежали пересылке непосредственно в руки самого директора гимназии, который их лично вскрывал лишь в самый последний момент, когда экзаменовавшееся приглашались в особую залу и разсаживались каждый за отдельный столик.

До сих пор для меня осталось тайной, каким образом это все произошло, но факт тот, что мы за неделю до открытия сессии письменных выпускных испытаний получили в копиях все темы, подлежавшие нашему разрешению при сдаче экзаменационных ответов. Помню, что за это с меня, как и со всех моих товарищей по выпуску, сколько-то взяли денег, очевидно, для оплаты добытия этой страшной и важной для нас тайны, от судьбы которой зависело все наше будущее. Факт остается фактом, и мы через какие-то „темные" силы все темы узнали заранее.

Между прочим, вспоминается мне задание по словесности: „Характеристика Бориса Годунова по произведениям Пушкина". В наших руках имелись также тексты диктовок по всем языкам и задач по математике. Стали мы спешно соответствующим образом подготавливаться, как вдруг, накануне самых экзаменов, разошелся среди нас, и без того нервно настроенных и утомленных юношей, слух будто, в силу замеченных злоупотреблений, из Округа ко дню экзаменов будет прислано совершенно новое содержание всех письменных заданий, во всяком случае иное, чем имевшееся у нас на руках. Растерянности нашей не было конца. Спокойнее всех был Владимир Ульянов, не без усмешки поглядывавший на своих встревоженных товарищей: очевидно, ему, с его поразительной памятью и всесторонней осведомленностью, было совершенно безразлично.

Как сейчас помню жуткий момент утра того дня, когда мы все, сдававшие экзамены на аттестат зрелости, были собраны в залу, смежную с помещением гимназической церкви; размещены мы были каждый за отдельным столиком и с замиранием сердца взирали на крупную фигуру в служебном вицмундире нашего директора Керенского. В его руках виднелся объёмистый, за большой казенной печатью пакет, который Феодор Михайлович немедленно вскрыл, вынул из него лист, приблизил его к своим глазам, фыркнул и, промолвив свое обычное „нда", отчетливо объявил: „Тема для сочинения по словесности нижеследующая"... трудно передать, что происходило в юных сердцах экзаменовавшихся в ожидании дальнейших слов Керенского...

В наших умах невольно мелькало такое соображение: все зависит от начала — если тема иная, чем та, о которой нам из Округа сообщили, стало быть слух о перемене верен и вся наша подготовка гибнет; если же та самая — все спасено... „Характеристика Бориса Годунова по произведениям Пушкина", расчлененно провозглашает директор.

Уф! У всех лица прояснились. Керенский повторно продиктовал наименование темы, предупредив, что на изготовление письменной работы дается всего лишь пять часов, по истечении которых все будет у экзаменовавшихся отобрано.

Во все последующие письменные экзаменационные дни по остальным предметам все прошло так же гладко и благополучно. К устным испытанием были допущены все.

Прошло с тех пор немало времени, но до сих пор при воспоминании о той обстановке, при которой пришлось сдавать свои письменные экзамены, испытываешь чувство не только некоторой неловкости, но и полного стыда перед совершенным нами в то юношеское время. Единственным оправданием себе самому нахожу лишь то, что поступал я тогда не по своей инициативе, а под влиянием общего, чисто-стадного побуждения.

А. Н. Наумов «Из уцелевших воспоминаний 1868−1917» Нью-Йорк, 1955 перейти.

Замечу к слову, что упоминаемый в воспоминаниях директор школы Ф. М. Керенский был отцом будущего министра, председателя Временного правительства А. Ф. Керенского, у которого позже Ленин заберет власть. Но это уже другая история.

Итак, в 2001 году покупать не пришлось: задания оказались в интернете. Тогда же было принято решение отказаться от рассылки экзаменационных вариантов в школы. Для выпускников 11-x классов, изучавших математику на гуманитарном и базовом уровнях, коллективом авторов под редакцией Г. В. Дорофеева был издан сборник задач для проведения экзаменов. Этот сборник заранее закупали учащиеся, чтобы проработать содержащиеся в нем задачи, и школы, чтобы использовать сборник непосредственно на экзаменах. В сборнике было несколько тысяч задач, из которых составители экзамена ежегодно составляли несколько десятков экзаменационных работ. Список полученных таким образом экзаменационных вариантов открыто публиковался незадолго до конца учебного года. В день экзамена во всех кабинетах включали телевизор, и учащиеся, прослушав в прямом эфире напутствия, наблюдали, как руководитель регионального министерства, департамента или комитета по образованию вытаскивал из лототрона шарик с номером работы. Учитель записывал номера заданий, из которых состояла работа, на доске, а ученики находили эти задания в сборнике и решали их. Торговля вариантами прекратилась: до того, как вынимали шарик, работу не мог знать никто.

Идея проводить выпускной экзамен по открытым текстам в 2001 году не была новой. Экзамены для 8-х (ныне 9-х) классов проводились по аналогичным сборникам А. Н. Чудовского и Л. А. Сомовой уже с 1981—1982 учебного года. В середине 80-х годов ими же был подготовлен задачник открытых экзаменационных заданий для 10-х (ныне 11-х) классов, по которому в 1986 году был впервые проведен экспериментальный экзамен. Эти и другие варианты представлены на странице «Варианты».

На экзамен «по сборнику Дорофеева» выносилось 10 заданий, последние из которых были довольно трудными и могли вызвать затруднение даже у некоторых учителей. В тот год я решил триста тогда наиболее сложных последних заданий и опубликовал решения на своем сайте «Элементарной математики Дмитрия Гущина». Эти решения 20-летней давности сохранились и на том сайте, и на жестком диске моего компьютера. Сейчас они вошли в раздел экзаменов для базовых классов 2002—2008 годов.

Экзамены 2002—2008 годов для учащихся, изучающих математику расширенно или углубленно, продолжали проводиться в прежнем формате: их составляли в Москве и рассылали в регионы. Эти экзамены цитируются по сохранившимся у меня условиям.

Продолжая все более и более грандиозную работу по сбору, решению и публикации экзаменационных вариантов, я руководствовался прежде всего тем, что многие из экзаменационных заданий представляют собой красивые и изящные задачи, отнюдь не потерявшие своей учебной и методической ценности. Как, например, замечательная задача из экзамена по базовой программе 1994 года о том, как симметрия графика кубической функции позволяет перегруппировать площади и устно решить задачу, традиционно решаемую при помощи интегрирования: 3502. Разбор таких заданий учителем, как и самостоятельное решение учащимися не только даст богатую пищу для ума, но и доставит эстетическое удовольствие.

Именно поэтому я стремился создать не столько библиотеку, сколько удобный инструмент для использования задач учителем и учениками. Для этого был разработан тематический каталог заданий. Если читателю, скажем, понадобится отыскать задания с параметрами для комплексных чисел, он без труда сможет их найти в Каталоге.

Для удобства использования задачам была присвоена сложность от 1 до 10 баллов. Минимальную сложность 1 получили задания для базовой школы, стоящие на первой позиции в вариантах. Второе задание имеет сложность 2, третье — 3 и т. д. до 6. Сложность заданий физико-математических классов сдвинута относительно базовых на 3: их первое задание имеет сложность 4, последнее, шестое, — 9. Сложность заданий для математических классов сдвинута еще на 1: первому заданию варианта присвоена сложность 5, последнему — 10. Задания петербургских профильно-элитарных вариантов превосходят требования к математической подготовке учащихся, осваивающих углубленную программу, поэтому им присвоена сложность 11 из 10. Некоторые задания озадачивают самых искушенных и опытных знатоков.

Конечно, если бы я делал всё один, всё это заняло бы не полгода, а добрых два или даже три. К счастью, помочь мне любезно согласились мои коллеги и друзья. Учитель математики президентского физико-математического лицея Санкт-Петербурга Владислав Игоревич Франк взял на себя труд по решению более двухсот экзаменационных вариантов, мы с Дмитрием Геннадьевичем Мухиным (школа 179) и Игорем Александровичем Эльманом (школа 218) из Москвы решали остальные.

Каждый раз, когда мне казалось, что всё, что можно найти, уже найдено, и всё, что можно решить, уже решено, вдруг обнаруживалось что-то новое. На днях мне попались экзаменационные варианты начала 20 века. С точки зрения современного читателя, привыкшего к тому, что задания в вариантах делятся на темы и упорядочены по сложности, тогдашний экзамен выглядит причудливо: в нём всего... одно задание, но оно на все темы школьной программы сразу! Малейшая ошибка хоть в одном действии — и правильного ответа не найти.
Решение будет опубликовано здесь.

Впрочем, сто лет назад экзамены не были массовыми, а среднее образование не было обязательным всеобщим. Напротив, число сдающих выпускные экзамены было в конце XIX — начале XX века было невелико. Например, в 1907 году в Петербурге испытания на аттестат зрелости проходили учащиеся 33-х учебных заведений (25-и правительственных гимназий, четырёх церковных училищ и четырёх частных гимназий), всего 1068 человек и 529 посторонних.

Итак, за полгода опубликовано уже более полутысячи вариантов, и эта работа близка к своему завершению. Однако пока я всё ещё ставлю многоточие. Осталось решить и опубликовать оставшиеся варианты первой половины 20 века, а также, если найдутся, в чем я всецело надеюсь на помощь читателей, варианты: для физико-математических классов 2001 года, для базовых классов 1967—1976, 1986 и 1987, 1990 годов, а также математических классов до 1982 года. Если у кого-то из читателей окажутся эти или другие ещё не найденные мною варианты экзаменов — напишите об этом в раздел Вопрос-ответ.

Д. Д. Гущин
Санкт-Петербург, 15.12.2021


Все варианты на странице «Варианты».

Быстрый поиск: Ученику.

Тематический каталог: Каталог.


На этой странице будут публиковаться новости. Чтобы подписаться на обновления, нажмите кнопку вверху страницы.