Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3215

На графике функции y=|3x минус 2| найдите точку, ближайшую к точке A (3; 0).

Спрятать решение

Решение.

Запишем формулу, задающую функцию, в виде

y= система выражений 3x минус 2 при x больше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,2 минус 3x при x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , конец системы .

и изобразим ее график на координатной плоскости (см. рис.).

Ⅰ  способ. Пусть B (x_0, |3x_0 минус 2|) — ближайшая к A точка графика. Тогда

AB в квадрате =(x_0 минус 3) в квадрате плюс (|3x_0 минус 2| минус 0) в квадрате равносильно AB в квадрате =x_0 в квадрате минус 6x_0 плюс 9 плюс 9x_0 в квадрате минус 12x_0 плюс 4=10x_0 в квадрате минус 18x_0 плюс 13.

Расстояние AB минимально при том же значении x_0, при котором минимально значение AB в квадрате . Исследуем квадратный трехчлен 10x в квадрате минус 18x плюс 13. Его наименьшее значение достигается при x_0= дробь: числитель: 18, знаменатель: 2 умножить на 10 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби . Таким образом, AB в квадрате принимает минимальное значение при x_0= дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби , тогда B левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби ; \left|3 умножить на \left дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби минус 2 | правая круглая скобка , т. е. B левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ: ближайшая точка B левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ⅱ  способ (геометрический). Искомая точка B является основанием перпендикуляра, проведенного из точки A к прямой MF; AM=3 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ;  тангенс \angle BMA=3 (угловой коэффициент прямой). Из \Delta MBA и \Delta MBB_1 (см. рис.) имеем MB=AM косинус альфа ;

MB_1=MB косинус альфа = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби косинус в квадрате альфа = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате альфа конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 30 конец дроби ,

отсюда OB_1= дробь: числитель: 7, знаменатель: 30 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 27, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби . Абсцисса точки B равна  дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби , а ее ордината равна  дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби умножить на (3x минус 2)= дробь: числитель: 7, знаменатель: 10 конец дроби . Таким образом, координаты искомой точки  левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ⅲ  способ. Уравнение прямой, проведенной через точку A перпендикулярно прямой y=3x минус 2, есть y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x плюс 1. Найдем точку пересечения этих прямых:

 система выражений y=3x минус 2,y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x плюс 1 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби ,y= дробь: числитель: 7, знаменатель: 10 конец дроби . конец системы .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3221

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Нахождение точки множества, ближайшей к графику данной функции
?
Сложность: 6 из 10