Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3215
i

На гра­фи­ке функ­ции y=|3x минус 2| най­ди­те точку, бли­жай­шую к точке A левая круг­лая скоб­ка 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­пи­шем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию, в виде

y= си­сте­ма вы­ра­же­ний 3x минус 2 при x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,2 минус 3x при x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , конец си­сте­мы .

и изоб­ра­зим ее гра­фик на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти (см. рис.).

Ⅰ  спо­соб. Пусть B левая круг­лая скоб­ка x_0, |3x_0 минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка   — бли­жай­шая к A точка гра­фи­ка. Тогда

AB в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка x_0 минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка |3x_0 минус 2| минус 0 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но AB в квад­ра­те =x_0 в квад­ра­те минус 6x_0 плюс 9 плюс 9x_0 в квад­ра­те минус 12x_0 плюс 4=10x_0 в квад­ра­те минус 18x_0 плюс 13.

Рас­сто­я­ние AB ми­ни­маль­но при том же зна­че­нии x_0, при ко­то­ром ми­ни­маль­но зна­че­ние AB в квад­ра­те . Ис­сле­ду­ем квад­рат­ный трех­член 10x в квад­ра­те минус 18x плюс 13. Его наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при x_0= дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 10 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби . Таким об­ра­зом, AB в квад­ра­те при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при x_0= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби , тогда B левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби ; \left|3 умно­жить на \left дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби минус 2 | пра­вая круг­лая скоб­ка , т. е. B левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: бли­жай­шая точка B левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ⅱ  спо­соб (гео­мет­ри­че­ский). Ис­ко­мая точка B яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем пер­пен­ди­ку­ля­ра, про­ве­ден­но­го из точки A к пря­мой MF; AM=3 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;  тан­генс \angle BMA=3 (уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой). Из \Delta MBA и \Delta MBB_1 (см. рис.) имеем MB=AM ко­си­нус альфа ;

MB_1=MB ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус в квад­ра­те альфа = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби ,

от­сю­да OB_1= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби . Абс­цис­са точки B равна  дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби , а ее ор­ди­на­та равна  дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби . Таким об­ра­зом, ко­ор­ди­на­ты ис­ко­мой точки  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ⅲ  спо­соб. Урав­не­ние пря­мой, про­ве­ден­ной через точку A пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой y=3x минус 2, есть y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x плюс 1. Най­дем точку пе­ре­се­че­ния этих пря­мых:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний y=3x минус 2,y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x плюс 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби ,y= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби . конец си­сте­мы .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3221

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: На­хож­де­ние точки мно­же­ства, бли­жай­шей к гра­фи­ку дан­ной функ­ции
?
Сложность: 6 из 10