Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4766
i

Пусть x  — длина вы­со­ты пра­виль­ной пи­ра­ми­ды MABCD, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно  ко­рень из 3 дм. Вы­ра­зив объем V(x) пи­ра­ми­ды как функ­цию от x, най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны MC до BDM в пи­ра­ми­де, име­ю­щей V_\max.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть MO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда MO=x и AM= ко­рень из 3 , от­сю­да AO в квад­ра­те =3 минус x в квад­ра­те и AB в квад­ра­те =2AO в квад­ра­те =6 минус 2x в квад­ра­те . Вы­ра­зим объем

V левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на x умно­жить на AB в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 6x минус 2x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Те­перь най­дем Vmax:

V' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 6 минус 6x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где V' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 при x мень­ше 1 и V' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 при x боль­ше 1, от­сю­да x=1  — точка мак­си­му­ма. По­лу­ча­ем: V_\max=V левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Обо­зна­чим P  — се­ре­ди­на пря­мой MC. Пусть рас­сто­я­ние от P до плос­ко­сти MBD равно y. Тогда

y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2AB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из 8 = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4772

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1977 год, ра­бо­та 1 (осн.), ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 5 из 10