Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4766

Пусть x — длина высоты правильной пирамиды MABCD, боковое ребро которой равно  корень из 3 дм. Выразив объем V(x) пирамиды как функцию от x, найдите расстояние от середины MC до BDM в пирамиде, имеющей V_\max.

Спрятать решение

Решение.

Пусть MO — высота пирамиды. Тогда MO=x и AM= корень из 3 , отсюда AO в квадрате =3 минус x в квадрате и AB в квадрате =2AO в квадрате =6 минус 2x в квадрате . Выразим объем

V(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на x умножить на AB в квадрате = дробь: числитель: 6x минус 2x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби .

Теперь найдем Vmax:

V'(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (6 минус 6x в квадрате )=2(1 минус x)(1 плюс x),

где V'(x) больше 0 при x меньше 1 и V'(x) меньше 0 при x больше 1, отсюда x=1 — точка максимума. Получаем: V_\max=V(1)= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

Обозначим P — середина прямой MC. Пусть расстояние от P до плоскости MBD равно y. Тогда

y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби корень из (2AB в квадрате ) = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби корень из 8 = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4772

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1977 год, работа 1 (осн.), вариант 1
? Классификатор: Геометрия, Применение производной к решению задач
?
Сложность: 5 из 10