Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3347
i

Диа­го­наль бо­ко­вой грани пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна d. Най­ди­те длину бо­ко­во­го ребра, при ко­то­ром объем приз­мы наи­боль­ший.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим через х длину бо­ко­во­го ребра приз­мы. Тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d в квад­ра­те минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , пло­щадь ос­но­ва­ния d в квад­ра­те минус x в квад­ра­те , объем приз­мы x левая круг­лая скоб­ка d в квад­ра­те минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x левая круг­лая скоб­ка d в квад­ра­те минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка . Не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее зна­че­ние этой функ­ции при 0 мень­ше x мень­ше d (по­след­нее не­ра­вен­ство сле­ду­ет из гео­мет­ри­че­ско­го смыс­ла за­да­чи). Вы­чис­лим про­из­вод­ную f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =d в квад­ра­те минус 3x в квад­ра­те и най­дем точки, в ко­то­рых она равна 0: f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 при x\pm дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби , но толь­ко  дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби лежит на рас­смат­ри­ва­е­мом ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка 0; d пра­вая круг­лая скоб­ка ; f' левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, по­это­му на ин­тер­ва­ле от 0 до кри­ти­че­ской точки  дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби функ­ция f(x) воз­рас­та­ет, а при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби ; d пра­вая круг­лая скоб­ка   — убы­ва­ет. Зна­чит,  дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби   — точка мак­си­му­ма функ­ции f(x), и при x= дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби объем приз­мы при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: d ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3353

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 6 из 10