Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4788
i

Пусть x  — длина об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра, у ко­то­ро­го диа­го­наль в осе­вом се­че­нии равна  ко­рень из 3 дм. Ка­ко­ва долж­но быть x, чтобы объем был мак­си­маль­ный?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный, в нем AB в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те =AC в квад­ра­те , от­ку­да AB в квад­ра­те =AC в квад­ра­те минус CB в квад­ра­те =3 минус x в квад­ра­те . Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

V= Пи r в квад­ра­те h, где h=x и r в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ,

 

то есть

V левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3x минус x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем, при каком x функ­ция V(x) при­ни­ма­ет на  левая круг­лая скоб­ка 0; ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка наи­боль­шее зна­че­ние. Имеем:

V левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 минус 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Изоб­ра­зим на ри­сун­ки знакиV' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и по­ве­де­ние функ­ции V(x). Из ри­сун­ка видно, что наи­боль­шее зна­че­ние объ­е­ма до­сти­га­ет­ся при x=1.

 

Ответ: 1 м.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4794

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1977 год, ра­бо­та 3 (осень), ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 3 из 10