Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4910

В правильной пирамиде MABC высотой является [MD], известно, что |MO| плюс |AC|=9 и O принадлежит (ABC). Найдите длину [AC], при которой объём пирамиды будет наибольшим, зная, что |AC| принадлежит [1; 8].

Спрятать решение

Решение.

Пусть |AC|=x, H=9 минус x. Теперь выразим объём пирамиды: V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_осн умножить на MB. Найдём площадь основания:

S_осн= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на |BK|= дробь: числитель: x в квадрате корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби .

Значит, V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в квадрате корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби умножить на (9 минус x)= дробь: числитель: корень из (3) (9x в квадрате минус x в кубе ), знаменатель: 12 конец дроби . Найдём производную и её нуль:

V'= дробь: числитель: корень из (3) (18x минус 3x в квадрате ), знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: корень из (3) x(6 минус x), знаменатель: 4 конец дроби ;

V'=0 равносильно дробь: числитель: корень из (3) x(6 минус x), знаменатель: 4 конец дроби =0 равносильно x(6 минус x)=0 \undersetx больше 0\mathop равносильно x=6.

Подставим значения на концах отрезка и значение в критической точке:

V(1)= дробь: числитель: корень из (3) (9 минус 1), знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из (3) , знаменатель: 3 конец дроби ;

V(6)= дробь: числитель: корень из (3) (9 умножить на 36 минус 216), знаменатель: 12 конец дроби =9 корень из (3)  — max;

V(8)= дробь: числитель: корень из (3) (9 умножить на 64 минус 512), знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 16 корень из (3) , знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ: 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4916

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1981 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Применение производной к решению задач
?
Сложность: 5 из 10