№ 3311 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 19. Приложение производной к задачам оптимизации
i
Рассматриваются всевозможные правильные треугольные призмы, каждая боковая грань каждый из которых имеет периметр, равный 
Найдите среди них призму с наибольшим объем (в ответе укажите боковое ребро такой призмы).
Решение. Обозначим боковое ребро призмы через x. Если сторона основания призмы y, а периметр боковой грани a, то 
Площадь основания правильной треугольной призмы со стороной основания y равна 
или 
Объем такой призмы равен
Объем достигает наибольшего значения при таком же x, при котором наибольшего значения достигает выражение 
Найдем x, при котором функция 
достигает своего наибольшего значения на интервале 
Границы интервала выбраны, исходя из геометрического смысла задачи. Исследуем дифференцируемую на ℝ, функцию f(x) при помощи производной:
На интервале 
функция f(x) имеет единственную критическую точку 
Переписав производную функцию f(x) в виде
увидим, что 
при 
и 
при 
В критической точке 
функция f(x) имеет максимум, поскольку производная функции меняет знак с плюса на минус. При этом значения x функция f(x) принимает свое наибольшее значение на интервале 
Объем призмы наибольший, если ее боковое ребро равно одной шестой периметра боковой грани.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 3317
