РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4089

В правильной четырехугольной призме сумма длин всех 12 ребер равна 160 см. Найдите объем призмы при условии, что площадь ее боковой поверхности является наибольшей.

Спрятать решение

Решение.

В правильной четырехугольной призме основанием является квадрат. Обозначим длину стороны этого квадрата за x см, а за y см примем длину высоты призмы, причем числа x и y положительны. Тогда сумма длин всех ребер  — $левая круглая скобка 8x плюс 4y правая круглая скобка$ см, что по условию задачи равно 160 см:

$8x плюс 4y=160.$

Объем данной призмы равен $x в квадрате y$ см³. Ее боковую поверхность S составляет четыре равных прямоугольника, площадь которых равна xy, т. е. $S=4xy.$ Если в первом равенстве мы выразим y через x: $y=40 минус 2x,$ и подставим это выражение в формулу площади боковой поверхности S, то получим функцию S(х):

$S левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x левая круглая скобка 40 минус 2x правая круглая скобка .$

Найдем ее наибольшее значение

$S' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 8x в квадрате плюс 160 x правая круглая скобка '= минус 16x плюс 160.$

Решив уравнение $S' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0,$ отыщем критические точки:

$минус 16x плюс 160=0 равносильно x=10.$

На промежутке $левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка$ есть только одна критическая точка $x=10;$ при переходе через нес производная меняет знак с плюса на минус (см. рис.), $x=10$ точка максимума. Следовательно, наибольшее значение функция $S левая круглая скобка x правая круглая скобка$ принимает при $x=10.$

Найдем y: $y=40 минус 2 умножить на 10=20.$ Подставим эти значения в формулу для нахождения объема призмы:

$V=10 в квадрате умножить на 20=2000 см в кубе .$

Ответ: $2000 см в кубе .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4095

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 9, вариант 1

? Классификатор: Применение производной к решению задач

Сложность: 4 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь