Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4041
i

Из всех пря­мо­уголь­ни­ков, име­ю­щих пло­щадь 20,25 см в квад­ра­те , най­ди­те сто­ро­ны того, ко­то­рый имеет наи­мень­ший пе­ри­метр.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть x см  — длина пря­мо­уголь­ни­ка, тогда  дробь: чис­ли­тель: 20,25, зна­ме­на­тель: x конец дроби см   — ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка, при­чем по смыс­лу за­да­чи x боль­ше 0. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 20,25, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка см. Со­ста­вим функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка   — за­ви­си­мость длины пе­ри­мет­ра пря­мо­уголь­ни­ка от длин его сто­рон. Тогда

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2x плюс дробь: чис­ли­тель: 40,5, зна­ме­на­тель: x конец дроби .

Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции. По­лу­чим

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 минус дробь: чис­ли­тель: 40,5, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби .

Решив урав­не­ние f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0, мы оты­щем кри­ти­че­ские точки. Тогда вы­ра­же­ние при­мет вид

2x в квад­ра­те минус 40,5=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 4,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 4,5 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x_1= минус 4,5,x_2=4,5. конец со­во­куп­но­сти .

Ко­рень  минус 4,5 не под­хо­дит по смыс­лу. А так как x=4,5 един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , то функ­ция при­ни­ма­ет свое наи­мень­шее зна­че­ние в этой точке. Таким об­ра­зом, длина пря­мо­уголь­ни­ка равна 4,5 см. Вы­чис­лим ши­ри­ну:

 дробь: чис­ли­тель: 20,25, зна­ме­на­тель: 4,5 конец дроби =4,5 см.

Ответ: 4,5 см и 4,5 см.

 

Ком­мен­та­рий. За­ме­тим, что из всех пря­мо­уголь­ни­ков оди­на­ко­вой пло­ща­ди наи­мень­ший пе­ри­метр имеет квад­рат.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4047

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 4 из 10