Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4898

В основании пирамиды MABCD — квадрат ABCD. Прямая MB — высота пирамиды. Объем пирамиды равен 9. Пусть x — длина BM и x принадлежит [1; 6]. Найдите наименьшее значение (MD)2.

Спрятать решение

Решение.

Объем пирамиды

V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_ABCD умножить на |MB| = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби a в квадрате x,

где a больше 0 — сторона квадрата ABCD. Составим уравнение относительно a:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби a в квадрате x = 9, откуда a в квадрате = дробь: числитель: 27, знаменатель: x конец дроби . По теореме Пифагора

|MD| в квадрате = |MB| в квадрате плюс |AB| в квадрате плюс |AD| в квадрате = x в квадрате плюс 2a в квадрате = x в квадрате плюс дробь: числитель: 54, знаменатель: x конец дроби .

Рассмотрим f(x) = x в квадрате плюс дробь: числитель: 54, знаменатель: x конец дроби и найдём её наименьшее значение на [1; 6]. Вычислим f'(x) = 2x минус дробь: числитель: 54, знаменатель: x в квадрате конец дроби . Производная непрерывна на [1; 6] и имеет ноль в точке x = 3, при этом левее этой точки отрицательна, а правее — положительна. Значит, f имеет в точке x = 3 минимум на [1; 6]. Окончательно

|MD| в квадрате = 3 в квадрате плюс дробь: числитель: 54, знаменатель: 3 конец дроби = 27.

Ответ: 27.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4904

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1980 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Применение производной к решению задач
?
Сложность: 5 из 10