Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4982
i

Какую наи­боль­шую пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти может иметь пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма, диа­го­наль ко­то­рой равна 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та см?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть |BD|=x, тогда 0 мень­ше x мень­ше 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка B_1DD_1 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­чим:

|DD_1|= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |B_1D| в квад­ра­те минус |B_1D_1| в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Также, |A_1D_1|= дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Если Sбок  — объём пи­ра­ми­ды, то

S левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64x в квад­ра­те минус 8x в сте­пе­ни 4 конец ар­гу­мен­та .

Найдём кри­ти­че­ские точки функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =64x в квад­ра­те минус 8x в сте­пе­ни 4 :

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =128x минус 32x в кубе ;

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0: 128x минус 32x в кубе =0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x=2.

Вы­чис­лим зна­че­ния функ­ции в точ­ках 0, 2 и 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та :

S левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0;

S левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 умно­жить на 8 минус 8 умно­жить на 64 конец ар­гу­мен­та =0;

S левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 умно­жить на 4 минус 8 умно­жить на 16 конец ар­гу­мен­та =8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та   — \max.

Ответ: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4988

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1985 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 5 из 10