Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4934
i

Диа­го­наль осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна 12дм. Най­ди­те наи­боль­ший воз­мож­ный объём этого ци­лин­дра.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мый объём вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле V= Пи R в квад­ра­те H. Со­глас­но ри­сун­ку |AB|=2R, |BC|=H. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC  левая круг­лая скоб­ка \angle B=90 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

|BC|= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |AC| в квад­ра­те минус |AB| в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но H= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 минус 4R в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 минус R в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

От­сю­да V=2 Пи R в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 минус R в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36R в сте­пе­ни 4 минус R в сте­пе­ни 6 конец ар­гу­мен­та , где R при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 6 пра­вая круг­лая скоб­ка . Наи­боль­ше­му зна­че­нию функ­ции V левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции f левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка =36R в сте­пе­ни 4 минус R в сте­пе­ни 6 . Найдём кри­ти­че­ские точки функ­ции f левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка :

f' левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка =36 умно­жить на 4R в кубе минус 6R в сте­пе­ни 5 =6R в кубе левая круг­лая скоб­ка 24 минус R в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ;

6R в кубе левая круг­лая скоб­ка 24 минус R в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но R в квад­ра­те =24 рав­но­силь­но R=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Найдём зна­че­ния функ­ции V в кри­ти­че­ской точке и на кон­цах про­ме­жут­ка:

V левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0;

V левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =2 Пи умно­жить на 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 минус 24 конец ар­гу­мен­та =96 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та   — max;

V левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 Пи умно­жить на 36 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 минус 36 конец ар­гу­мен­та =0.

 

Ответ: 96 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та дм.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1983 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 5 из 10