Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5000
i

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де MABC, где MO  — вы­со­та, MO плюс AC=9 и AC при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . При каком зна­че­нии AC объем пи­ра­ми­ды будет наи­боль­шим, при каком  — наи­мень­шим?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть AC=x, 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 4, тогда MO = 9 минус AC= 9 минус x. Пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка АВС равна  дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , по­это­му для объ­е­ма тет­ра­эд­ра по­лу­ча­ем

V_MABC левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_оснh = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те ко­рень из 3 }4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 9 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби sqrt 3, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 9x в квад­ра­те минус x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние V(x) на  левая квад­рат­ная скоб­ка 1;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Вы­чис­лим про­из­вод­ную:

V'_MABC левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 18x минус 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

На от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 1;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка най­ден­ная про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, а зна­чит, функ­ция V(x) воз­рас­та­ет. Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся на левом конце от­рез­ка, а наи­боль­шее  — на пра­вом. Вы­чис­лим эти зна­че­ния:

V_наим=V левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 9 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

V_наиб=V левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 144 минус 64 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 20 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: V_наим= дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , V_наиб= дробь: чис­ли­тель: 20 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 5134

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Москва, 1986 год. Экс­пе­ри­мен­таль­ный эк­за­мен по за­дач­ни­ку А. Н. Чу­дов­ско­го и Л. А. Со­мо­ва, ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 5 из 10