Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4802
i

Пусть x  — длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной пи­ра­ми­ды MABC. Сумма длин сто­ро­ны ос­но­ва­ния и вы­со­ты пи­ра­ми­ды равна 3 дм. Вы­ра­зив объем V левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пи­ра­ми­ды как функ­цию от x, най­ди­те рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния вы­со­ты пи­ра­ми­ды до плос­ко­сти бо­ко­вой грани в пи­ра­ми­де, име­ю­щей V_\max.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна x, а вы­со­та равна 3 минус x, то объем равен

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ис­сле­ду­ем эту функ­цию при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . Возь­мем ее про­из­вод­ную

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 6x минус 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что по­ло­жи­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и от­ри­ца­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 2; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, функ­ция  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и убы­ва­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 2; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му ее наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при x=2.

Пусть у пи­ра­ми­ды SABC точка O  — центр ос­но­ва­ния, M  — се­ре­ди­на AC, AC=2, SO=1. Тогда

BM= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

MO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BM= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

За­ме­тим, что SOM\perp AC (по­сколь­ку OM\perp OC и OS\perp ABC). Опу­стим тогда вы­со­ту из O на пря­мую SM  — она будет пер­пен­ди­ку­ляр­на SM и (по­сколь­ку лежит в плос­ко­сти SOM) пер­пен­ди­ку­ляр­на AC, сле­до­ва­тель­но, будет пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SAC. Вы­чис­лим:

d левая круг­лая скоб­ка O,SAC пра­вая круг­лая скоб­ка =d левая круг­лая скоб­ка O,SM пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2S_OSM, зна­ме­на­тель: SM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: SO умно­жить на OM, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SO в квад­ра­те плюс OM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4808

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1977 год, ра­бо­та 4 (запас), ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 5 из 10