Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4958

Периметр осевого сечения цилиндра равен 6дм. При какой длине радиуса основания цилиндра его объём будет наибольшим?

Спрятать решение

Решение.

Пусть ABCD — осевое сечение цилиндра, (MN) — ось симметрии. Тогда |AN|=R — радиус основания цилиндра. Из условия имеем:

4|AN| плюс 2|MN|=6 равносильно 2|AN| плюс |MN|=3 равносильно |MN|=3 минус 2R, 0 меньше R меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Если V — объём цилиндра, то V(R)= Пи R в квадрате (3 минус 2R)= Пи (3R в квадрате минус 2R в кубе ). Найдём критические точки функции:

V'(R)= Пи (6R минус 6R в квадрате )=6 Пи R(1 минус R);

V'(R)=0: 6 Пи R(1 минус R)=0 равносильно R=1.

Вычислим значения функции в точках 0, 1 и  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби :

V(0)=0;

V(1)= Пи (3 минус 2)= Пи  — max;

V левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = Пи умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби (3 минус 3)=0.

Ответ: 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4964

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1985 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Геометрия, Применение производной к решению задач
?
Сложность: 5 из 10