PDF-версии: 
Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции 
Решение. Начертим график функции. При
при 
(см. рис.). Таким образом, указанная фигура ограничена осью абсцисс и графиком функции на отрезке [0; 1).
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
Производная этой функции 
Корни производной x = 0 и 
Найдём значение функции в этих точках: 
Функция f(x) возрастает на каждом луче 
и 
Поэтому точки x = 0 и 
являютося точками локального максимума и минимума соответственно.
поэтому площадь фигуры равна
то площадь может быть найдена по формуле 
и 
При этом x и y поменяются местами, а площадь не изменится. Теперь фигура будет ограничена линиями 
и 
Найдем их точки пересечения
имеем 
то есть фигура расположена ниже оси абсцисс. Тогда ее площадь равна 
и графиками функций 
при условии 
Эта парабола проходит через точку 
через которую также проходит график функции 
При 
не определено, при 
имеем 
поэтому у них нет других точек пересечения.
убывает, поэтому их графики имеют не более одной общей точки. Одна легко угадывается, 
найдем из уравнения 
Второй корень положителен и нас не устраивает.
а снизу графиком 
при 
и графиком 
при 
Значит, ее площадь равна
и 
На промежутке между ними 
и график функции 
проходит выше оси. Тогда
множество точек, удовлетворяющих системе неравенств 
и вычислите площадь фигуры, состоящей из этих точек.
Второе дает 
Значит, эта часть фигуры ограничена дугой параболы, соединяющей точки (0; 4) и (2; 0) и координатными осями.
y = −x − 6 (ln 8 ≈ 2,08).
и 
значит, график 
лежит выше графика 
при 
Тогда
и 
Абсциссы точек пересечения графиков функций — целые числа.
Домножая на два получим
и 
являются его корнями. Далее, при 
левая часть отрицательна, а правая положительна, поэтому корней нет. Аналогично при 
и 
левая часть положительна, а правая отрицательна. Наконец при 
или 
получаем 
поэтому равенство вновь невозможно.
снизу графиком 
абсциссы точек пересечения равны 2 и 4. 
и 
может быть найдена из уравнения 
однако здесь допустимо использование и другого способа. 
и 
Решим уравнение 
Ясно, что 
подходит в это уравнение. Кроме того функция 
график функции 
Вычислим площадь:
и двумя параллельными оси Oy прямыми, расстояние между которыми равно 2.
Пусть 
— одна из первообразных функции 
Тогда площадь выражается формулой
получаем что 
положительно (и функция 
возрастает) при 
то есть при 
и отрицательно (и функция 
то есть при 
Значит, минимум достигается при 
а прямые проходят через 0 и 2.
и 
(кв. ед.).
Ясно, что 
имеем 
то есть график 
проходит выше. Теперь можно искать площадь:
и прямой 
и найдите площадь этой фигуры.
и 
Функции 
непрерывны на 
Так как функция 
На отрезке 
верно неравенство 
Тогда
и 
а 
— возрастающая функция. Следовательно, на этом отрезке уравнение 
имеет не более одного корня. Подбором находим 
При 
имеем: 
Следовательно, на промежутке 
уравнение корней не имеет. Так как обе функции — функции четные, уравнение имеет еще один корень 
(см. рис). Окончательно получаем 
график 
проходит ниже графика 
поэтому
график 
проходит ниже графика 
поэтому
и 
и 4.
будет парабола с корнями x = 0 и x = 3 и вершиной в точке 
нижняя часть которой будет отражена наверх. График пересечет прямую y = 4 в точках, где 
при 
или 
и графиком функции 
при 
Поскольку график симметричен относительно прямой 
(оси параболы), площади на первых двух интервалах равны, поэтому будем считать только одну из них и удвоим ее. Тогда
и 
и 
(невозможно) или 
Подходит x = 4.
имеем 
и 
(ln 0,5 ≈ −0,69).
ниже прямой 
Теперь найдём площадь:
и прямой, проходящей через точки A(2; 2) и B(4; 3).
решив уравнение 
и 
значит, график 
при 
Тогда
и x = 9.
и 
Тогда искомая площадь
и 
или 
И то и другое — действительно корни исходного уравнения, они не обнуляют знаменатели.
(например, −3). Тогда первая функция даст 
а вторая даст 
поэтому график второй функции проходит ниже графика первой. Тогда площадь будет равна
и 
определена и неотрицательна при 
При таких x функция 
неположительна, поэтому ее график проходит ниже графика первой функции. При 
они принимают одинаковое значение 0. 
то есть 
Это уравнение задает окружность радиуса 2 с центром в точке 
поэтому площадь верхнего полукруга равна 
и 
и 
поэтому можно вычислить площадь правой половины фигуры и удвоить ее:
