РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2838

Найдите наименьшую площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка$ и двумя параллельными оси Oy прямыми, расстояние между которыми равно 2.

Спрятать решение

Решение.

Пусть эти прямые проведены в точках t и $t плюс 2.$ Пусть $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =e в степени x плюс e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка .$ Тогда площадь выражается формулой

$S левая круглая скобка t правая круглая скобка = принадлежит t пределы: от t до t плюс 2, левая круглая скобка e в степени x плюс e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка dx=F левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка t правая круглая скобка .$

Возьмем производную

$S' левая круглая скобка t правая круглая скобка =F' левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус F' левая круглая скобка t правая круглая скобка =f левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка ' минус f левая круглая скобка t правая круглая скобка =f левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка t правая круглая скобка =$
$=e в степени левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка 2 минус левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус e в степени t минус e в степени левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка =e в квадрате e в степени t плюс e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка минус e в степени t минус e в квадрате e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка e в квадрате минус 1 правая круглая скобка e в степени t минус левая круглая скобка e в квадрате минус 1 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка = левая круглая скобка e в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени t минус e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $S' левая круглая скобка t правая круглая скобка =F' левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус F' левая круглая скобка t правая круглая скобка =$
$=f левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка ' минус f левая круглая скобка t правая круглая скобка =f левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка t правая круглая скобка =$
$=e в степени левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка 2 минус левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус e в степени t минус e в степени левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка =e в квадрате e в степени t плюс e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка минус e в степени t минус e в квадрате e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка e в квадрате минус 1 правая круглая скобка e в степени t минус левая круглая скобка e в квадрате минус 1 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка = левая круглая скобка e в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени t минус e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $S' левая круглая скобка t правая круглая скобка =F' левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус F' левая круглая скобка t правая круглая скобка =$
$=f левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка ' минус f левая круглая скобка t правая круглая скобка =f левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка t правая круглая скобка =$
$=e в степени левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка 2 минус левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус e в степени t минус e в степени левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка =$
$=e в квадрате e в степени t плюс e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка минус e в степени t минус e в квадрате e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка e в квадрате минус 1 правая круглая скобка e в степени t минус левая круглая скобка e в квадрате минус 1 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка = левая круглая скобка e в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени t минус e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Поскольку $e в квадрате минус 1 больше 0,$ получаем что $S' левая круглая скобка t правая круглая скобка$ положительно (и функция $S левая круглая скобка t правая круглая скобка$ возрастает) при $e в степени t больше e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка ,$ то есть при $t больше 0$ и отрицательно (и функция $S левая круглая скобка t правая круглая скобка$ убывает) при $e в степени t меньше e в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка ,$ то есть при $t меньше 0.$ Значит, минимум достигается при $t=0,$ а прямые проходят через 0 и 2.

Вычислим теперь площадь

$S= принадлежит t пределы: от 0 до 2, левая круглая скобка e в степени x плюс e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка dx= левая круглая скобка e в степени x плюс дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: минус 1 конец дроби правая круглая скобка |_0 в квадрате = левая круглая скобка e в степени x минус e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка |_0 в квадрате =e в квадрате минус e в степени 0 минус e в степени 0 плюс e в квадрате =2e в квадрате минус 2.$ $S= принадлежит t пределы: от 0 до 2, левая круглая скобка e в степени x плюс e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка dx= левая круглая скобка e в степени x плюс дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: минус 1 конец дроби правая круглая скобка |_0 в квадрате =$
$= левая круглая скобка e в степени x минус e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка |_0 в квадрате =e в квадрате минус e в степени 0 минус e в степени 0 плюс e в квадрате =2e в квадрате минус 2.$

Ответ: $2e в квадрате минус 2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2844

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2000 год, работа 1, вариант 1

? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Применение производной к решению задач

Сложность: 7 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь