Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2165

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок) y = x2 + 2|x| − 8, y = 4 − x2.

Спрятать решение

Решение.

Обе функции четны, область симметрична относительно оси ординат, поэтому можно искать только площадь при x ⩾ 0, а потом удвоить ее. Тогда вместо |x| можно писать x. Найдем точку пересечения:

x в квадрате плюс 2x минус 8=4 минус x в квадрате равносильно 2x в квадрате плюс 2x минус 12=0 равносильно x в квадрате плюс x минус 6=0 равносильно (x минус 2)(x плюс 3)=0,

откуда x = 2 (x = −3 отрицательно).

При x принадлежит [0;2] график y=x в квадрате плюс 2x минус 8 проходит ниже графика 4 минус x в квадрате , поэтому

S=2 принадлежит t\limits_0 в квадрате (4 минус x в квадрате минус (x в квадрате плюс 2x минус 8))dx=2 принадлежит t\limits_0 в квадрате (4 минус x в квадрате минус x в квадрате минус 2x плюс 8)dx=
=2 принадлежит t\limits_0 в квадрате (12 минус 2x минус 2x в квадрате )dx= 2\left. левая круглая скобка 12x минус x в квадрате минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе правая круглая скобка |_0 в квадрате =2 левая круглая скобка 12 умножить на 2 минус 2 в квадрате минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 2 в кубе минус 0 правая круглая скобка =
=2 левая круглая скобка 24 минус 4 минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =2 левая круглая скобка 20 минус целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 правая круглая скобка =40 минус целая часть: 10, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 = целая часть: 29, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 .

Ответ:  целая часть: 29, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2170

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1982 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 8 из 10