Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2849
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной пря­мой x плюс y=3 и гра­фи­ка­ми функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3x плюс 1 конец ар­гу­мен­та , g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­лу­ча­ем, чтоg левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби при усло­вии x мень­ше или равно 0. Эта па­ра­бо­ла про­хо­дит через точку  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , через ко­то­рую также про­хо­дит гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3x плюс 1 конец ар­гу­мен­та . При x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка не опре­де­ле­но, при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка имеем f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 боль­ше g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му у них нет дру­гих точек пе­ре­се­че­ния.

Функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет, функ­ция y=3 минус x убы­ва­ет, по­это­му их гра­фи­ки имеют не более одной общей точки. Одна легко уга­ды­ва­ет­ся,  левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

На­ко­нец, точки пе­ре­се­че­ния x плюс y=3 и y=x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби най­дем из урав­не­ния

x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби =3 минус x рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс x минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 =0 рав­но­силь­но 9x в квад­ра­те плюс 9x минус 28=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: минус 9\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 в квад­ра­те плюс 4 умно­жить на 9 умно­жить на 28 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 9\pm 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 4 умно­жить на 28 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 9\pm 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 112 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 9\pm 3 умно­жить на 11, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ,

от­ку­да x= дробь: чис­ли­тель: минус 9 минус 33, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 42, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Вто­рой ко­рень по­ло­жи­те­лен и нас не устра­и­ва­ет.

Об­ласть изоб­ра­же­на на ри­сун­ке. Она огра­ни­че­на свер­ху гра­фи­ком y=3 минус x, а снизу гра­фи­ком x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и гра­фи­ком y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3x плюс 1 конец ар­гу­мен­та при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Зна­чит, ее пло­щадь равна

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка 3 минус x минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до 1, левая круг­лая скоб­ка 3 минус x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3x плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 минус x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до 1, левая круг­лая скоб­ка 3 минус x минус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= левая круг­лая скоб­ка целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 3x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: минус 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: минус 343, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 минус дробь: чис­ли­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 3 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =
= целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 343 минус 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1 плюс 0=
= целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 342, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1= целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 38, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби =
= целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 минус дробь: чис­ли­тель: 38, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 18 минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 минус дробь: чис­ли­тель: 54, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 58, зна­ме­на­тель: 18 = целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 минус 6 плюс целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 9 = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 = целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 .

Ответ:  целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2855

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 6 из 10