Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4658
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ка­ми функ­ций y= синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3x минус 4. Абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций  — целые числа.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим для на­ча­ла урав­не­ние  синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3x минус 4. До­мно­жая на два по­лу­чим

2 синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус x в квад­ра­те плюс 6x минус 8 рав­но­силь­но 2 синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Оче­вид­но x=2 и x=4 яв­ля­ют­ся его кор­ня­ми. Далее, при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 2; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая часть от­ри­ца­тель­на, а пра­вая по­ло­жи­тель­на, по­это­му кор­ней нет. Ана­ло­гич­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 4; 6 пра­вая круг­лая скоб­ка левая часть по­ло­жи­тель­на, а пра­вая от­ри­ца­тель­на. На­ко­нец при x мень­ше или равно 0 или x боль­ше или равно 6 по­лу­ча­ем

 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно минус 2 умно­жить на 4= минус 8

и 2 синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно минус 2, по­это­му ра­вен­ство вновь не­воз­мож­но.

Итак, об­ласть огра­ни­че­на свер­ху гра­фи­ком y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3x минус 4, снизу гра­фи­ком y= синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния равны 2 и 4.

Тогда

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 2 до 4, левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3x минус 4 минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx=\dvpod минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби x в кубе плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус 4x плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби 24=
= минус дробь: чис­ли­тель: 64, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 48, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 16 плюс ко­си­нус 2 Пи умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 12}2 плюс 8 минус ко­си­нус Пи умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 28, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 8 плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби плюс 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4664

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10