Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3015

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y= косинус x и y= дробь: числитель: 3 корень из 3|x|, знаменатель: Пи конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Функция y= косинус x убывает на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , а y= дробь: числитель: 3 корень из 3|x|, знаменатель: Пи конец дроби  — возрастающая функция. Следовательно, на этом отрезке уравнение  косинус x= дробь: числитель: 3 корень из 3|x|, знаменатель: Пи конец дроби имеет не более одного корня. Подбором находим x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби . При x больше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби имеем:  дробь: числитель: 3 корень из 3|x|, знаменатель: Пи конец дроби больше 1,  косинус x меньше или равно 1. Следовательно, на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая квадратная скобка уравнение корней не имеет. Так как обе функции — функции четные, уравнение имеет еще один корень x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби (см. рис). Окончательно получаем

S=2 принадлежит t от 0 до дробь: числитель: Пи 6, знаменатель: левая круглая скобка косинус x минус конец дроби  дробь: числитель: 3 корень из 3x, знаменатель: Пи конец дроби правая круглая скобка dx=2 левая круглая скобка синус x минус дробь: числитель: 3 корень из 3, знаменатель: x в квадрате конец дроби 2 Пи правая круглая скобка |_0 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 3 корень из 3 умножить на Пи в квадрате , знаменатель: 2 Пи умножить на 36 конец дроби правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: Пи корень из 3, знаменатель: 12 конец дроби .

 

Ответ: 1 минус дробь: числитель: Пи корень из 3, знаменатель: 12 конец дроби . .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3038

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2007 год, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 7 из 10