Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2676
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y=x в кубе плюс x в квад­ра­те плюс 1 и y=1 минус 2x в квад­ра­те .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе плюс x в квад­ра­те плюс 1. Про­из­вод­ная этой функ­ции f в сте­пе­ни prime левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Корни про­из­вод­ной x  =  0 и x= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Найдём зна­че­ние функ­ции в этих точ­ках: f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =1, f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \rgiht пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс 1= целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 27 . Функ­ция f(x) воз­рас­та­ет на каж­дом луче левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и левая квад­рат­ная скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му точки x  =  0 и x= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби яв­ля­ю­то­ся точ­ка­ми ло­каль­но­го мак­си­му­ма и ми­ни­му­ма со­от­вет­ствен­но.

Гра­фи­ки дан­ных функ­ций имеют общую точку при x  =  0 Найдём абс­цис­сы дру­гих общих точек. Решим урав­не­ние

x в кубе плюс x в квад­ра­те плюс 1=1 минус 2x в квад­ра­те рав­но­силь­но x в кубе плюс 3x в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x= минус 3.

Дру­гих общих точек нет. Фи­гу­ра, пло­щадь ко­то­рой тре­бу­ет­ся найти за­штри­хо­ва­на. Абс­цис­сы внут­рен­них и гра­нич­ных точек фи­гу­ры при­над­ле­жат от­рез­ку [−3; 0], на ко­то­ром x в кубе плюс x в квад­ра­те плюс 1 боль­ше 1 минус 2x в квад­ра­те , по­это­му пло­щадь фи­гу­ры равна

при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 3 до 0, левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 3 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка d x= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка |\limits_ минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 27= целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 .

При­ведём дру­гое ре­ше­ние

Найдём общие точки гра­фи­ков дан­ных функ­ций, для чего решим урав­не­ние

x в кубе плюс x в квад­ра­те плюс 1=1 минус 2x в квад­ра­те рав­но­силь­но x в кубе плюс 3x в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус 3,x=0. конец со­во­куп­но­сти .

Гра­фи­ки имеют две общие точки M(0, 1) и N(−3, −17). Так как эти функ­ции не­при­рыв­ны на R , то пло­щадь может быть най­де­на по фор­му­ле

S=\left | при­над­ле­жит t пре­де­лы: от x_1 до x_2, левая круг­лая скоб­ка y_1 минус y_2 пра­вая круг­лая скоб­ка dx |,

где x1 и x2  — абс­цис­сы двух общих точек функ­ции y1 и y2, причём дру­гих общих точек нет. В нашем слу­чае

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 3 до 0, левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка |\limits_ минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 минус дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 27= дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2685

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 5 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025