Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2574

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=(x минус 2) в кубе , y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x, y=0.

Спрятать решение

Решение.

Искомая площадь может быть вычислена как разность площади треугольника OAC и криволинейного треугольника ABC. Абсцисса точки пересечения графиков y= дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби и y=(x минус 2) в кубе может быть найдена из уравнения  дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби =(x минус 2) в кубе , однако здесь допустимо использование и другого способа.

Построив эскизы графиков этих функций мы «увидели», что точка пересечения графиков имеет абсциссу 3. Остается проверить, что ординаты точек обоих графиков с абсциссой 3 совпадают (без такой проверки при использовании этого способа решение не может считаться полноценным). Вычисляем площадь треугольника OAC:

S_OAC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на OC умножить на AC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на 1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Площадь криволинейного треугольника ABC вычисляется по формуле

S_ABC= принадлежит t \limits_2 в кубе левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в кубе dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби дробь: числитель: (x минус 2) в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби | \limits_2 в кубе = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Искомая площадь равна  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: \left \ дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2580

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 7 из 10