Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2225
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y=0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 и y= минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 x плюс 10 (ln 0,5 ≈ −0,69).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем сна­ча­ла точки пе­ре­се­че­ния этих линий, решив урав­не­ние:

0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6= минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 x плюс 10 рав­но­силь­но 0,5 в сте­пе­ни x умно­жить на 0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x плюс 16 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 0,5 в сте­пе­ни x умно­жить на 16= минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x плюс 16 рав­но­силь­но 0,5 в сте­пе­ни x = минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби x плюс 1.

Функ­ция y  =  0,5x яв­ля­ет­ся вы­пук­лой, по­это­му не может пе­ре­се­кать пря­мую более чем в двух точ­ках. Не­труд­но ви­деть, что x  =  0 и x  =  4 под­хо­дят. При этом в точке, на­при­мер, x  =  2 имеем

0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6=0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6=4 минус 6= минус 2,

 минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 x плюс 10= минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 10= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

по­это­му гра­фик y=0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 рас­по­ло­жен при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ниже пря­мой y= минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 x плюс 10. Те­перь найдём пло­щадь:

S= при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 x плюс 10 минус левая круг­лая скоб­ка 0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 x плюс 10 минус 0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка 16 минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 x минус 0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx= левая круг­лая скоб­ка 16x минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 0,5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 16 умно­жить на 4 минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на 16 минус дробь: чис­ли­тель: 0,5 в сте­пе­ни 0 , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 0,5 конец дроби минус 16 умно­жить на 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби \dot 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 0,5 конец дроби =
=64 минус 30 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 0,5 конец дроби минус 0 плюс 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 0,5 конец дроби =34 плюс дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 0,5 конец дроби \approx 34 минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 0,69 конец дроби \approx 12,26.

Ответ: 34 плюс дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 0,5 конец дроби \approx 12,26.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2230

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1984 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10