Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2185

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=|x в кубе минус 3x| плюс x и y=x плюс 4.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку мы все равно будем считать площадь как интеграл разности, можно сразу считать, что вместо функций из условия взяты функции \absx в квадрате минус 3x и 4.

Графиком функции y=\absx в квадрате минус 3x будет парабола с корнями x = 0 и x = 3 и вершиной в точке  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , нижняя часть которой будет отражена наверх. График пересечет прямую y = 4 в точках, где

x в квадрате минус 3x=4 равносильно x в квадрате минус 3x минус 4=0 равносильно (x плюс 1)(x минус 4)=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1,x=4 конец совокупности .

отраженная часть вся окажется ниже этой прямой.

Итак, область ограничена сверху прямой y = 4, а снизу графиком функции y=x в квадрате минус 3x при x принадлежит [ минус 1;0] или x принадлежит [3;4] и графиком функции y= минус (x в квадрате минус 3x) при x принадлежит [0;3]. Поскольку график симметричен относительно прямой x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби (оси параболы), площади на первых двух интервалах равны, поэтому будем считать только одну из них и удвоим ее. Тогда

S= принадлежит t\limits_0 в кубе (4 плюс x в квадрате минус 3x)dx плюс 2 принадлежит t\limits_3 в степени 4 (4 минус (x в квадрате минус 3x))dx= принадлежит t\limits_0 в кубе (x в квадрате минус 3x плюс 4)dx плюс 2 принадлежит t\limits_3 в степени 4 ( минус x в квадрате плюс 3x плюс 4)dx=
= \left. левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка |_0 в кубе плюс 2\left. левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка |_3 в степени (4) =
= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 27 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 плюс 4 умножить на 3 минус 0 плюс 2 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 64 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 плюс 4 умножить на 4 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 27 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 минус 4 умножить на 3 правая круглая скобка =

= 9 минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 плюс 2 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби плюс 24 плюс 16 плюс 9 минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби минус 12 правая круглая скобка = 21 минус целая часть: 13, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс 2 левая круглая скобка минус целая часть: 21, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 плюс 37 минус целая часть: 13, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка =
= целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс 2 левая круглая скобка 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс 2 умножить на целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 6 = целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 = целая часть: 11, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 .

Ответ:  целая часть: 11, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2190

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 8 из 10