Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2185
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y=|x в кубе минус 3x| плюс x и y=x плюс 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку мы все равно будем счи­тать пло­щадь как ин­те­грал раз­но­сти, можно сразу счи­тать, что вме­сто функ­ций из усло­вия взяты функ­ции \absx в квад­ра­те минус 3x и 4.

Гра­фи­ком функ­ции y=\absx в квад­ра­те минус 3x будет па­ра­бо­ла с кор­ня­ми x  =  0 и x  =  3 и вер­ши­ной в точке  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , ниж­няя часть ко­то­рой будет от­ра­же­на на­верх. Гра­фик пе­ре­се­чет пря­мую y  =  4 в точ­ках, где

x в квад­ра­те минус 3x=4 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 3x минус 4=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус 1,x=4 конец со­во­куп­но­сти .

от­ра­жен­ная часть вся ока­жет­ся ниже этой пря­мой.

Итак, об­ласть огра­ни­че­на свер­ху пря­мой y  =  4, а снизу гра­фи­ком функ­ции y=x в квад­ра­те минус 3x при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка или x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 3;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и гра­фи­ком функ­ции y= минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­сколь­ку гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но пря­мой x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби (оси па­ра­бо­лы), пло­ща­ди на пер­вых двух ин­тер­ва­лах равны, по­это­му будем счи­тать толь­ко одну из них и удво­им ее. Тогда

S= при­над­ле­жит t\limits_0 в кубе левая круг­лая скоб­ка 4 плюс x в квад­ра­те минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс 2 при­над­ле­жит t\limits_3 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка 4 минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t\limits_0 в кубе левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс 2 при­над­ле­жит t\limits_3 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те плюс 3x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в кубе минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 4x пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в кубе плюс 2 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в кубе плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 4x пра­вая круг­лая скоб­ка |_3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 27 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 плюс 4 умно­жить на 3 минус 0 плюс 2 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 64 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 16 плюс 4 умно­жить на 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 27 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 минус 4 умно­жить на 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =

= 9 минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 12 плюс 2 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 64, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 24 плюс 16 плюс 9 минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка = 21 минус целая часть: 13, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 плюс 2 левая круг­лая скоб­ка минус целая часть: 21, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 плюс 37 минус целая часть: 13, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= целая часть: 7, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = целая часть: 7, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 плюс 2 умно­жить на целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 = целая часть: 7, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 плюс целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 = целая часть: 11, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 .

Ответ:  целая часть: 11, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2190

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1983 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10