Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4672

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x в квадрате минус 2x, y= минус 4x минус 1 и y=4x минус 9.

Спрятать решение

Решение.

Изобразим данные графики на рисунке, найдем абсциссы точек их пересечения:

x в квадрате минус 2x= минус 4x минус 1 равносильно x в квадрате плюс 2x плюс 1=0 равносильно (x плюс 1) в квадрате =0 равносильно x= минус 1,

 минус x в квадрате минус 2x=4x минус 9 равносильно x в квадрате минус 6x плюс 9=0 равносильно (x минус 3) в квадрате =0 равносильно x=3.

Уравнения имеют ровно по одному корню, а значит, прямые являются касательными к параболе. Найдем абсциссу точки пересечения касательных:

 минус 4x минус 1=4x минус 9 равносильно 8x=8 равносильно x=1.

Очевидно область симметрична относительно прямой x=1, поэтому можно вычислить площадь правой половины фигуры и удвоить ее:

S=2 принадлежит t\limits_1 в кубе (x в квадрате минус 2x минус (4x минус 9)) dx=2 принадлежит t\limits_1 в кубе (x в квадрате минус 6x плюс 9) dx=2 принадлежит t\limits_1 в кубе (x минус 3) в квадрате dx=

=2\dvpod дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (x минус 3) в кубе 13=2( дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 0 в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 2) в кубе )= дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4678

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1990 год, работа 6, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 9 из 10