PDF-версии: 
При каком значении a прямая 
является касательной к графику функции 
Решение. Так прямая является касательной к графику функции 
то в точке касания угловой коэффициент касательной будет равен 3. Но угловой коэффициент касательной равен производной функции в этой точке, т. е. 
отсюда 
Следовательно, 
—
Найдем теперь a из условия равенства значений функций и 
при 
т. е. 
или 
Ответ: при
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
имеет экстремум в точке 
Определите, какой точкой экстремума является точка 
при найденном значении a.
откуда 
Итак, 
что положительно при 
и отрицательно при 
Поэтому 
убывает при 
и возрастает при 
поэтому 
найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и осью абсцисс. При каких значениях а эта площадь равна 
с осью Ох:
при 
и определим промежутки возрастания и убывания функции (см. рис.). Имеем: 
при 
поэтому искомую площадь S можно найти по формуле 
если 
или 
Так как 
то 
при 
и прямая 
имеют одну общую точку?
Найдем ее производную 
и те значения x, при которых производная равна нулю. Отметим эти значения x точками на координатной прямой и определим промежутки знакопостоянства производной, они отмечены «+» и «−» на рисунке. 
функция y(x) убывает и принимает значения, заполняющие промежуток 
На отрезке 
функция возрастает и принимает значения 
На 
функция убывает и принимает значения 
Схематически график функции 
выглядит так, как представлен на рисунке. Таким образом, прямая 
или 
и 
Отрезок наибольшей длины, заключенный внутри этой фигуры и принадлежащий прямой 
делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны.
длина отрезка дается формулой 
Рассмотрим квадратичную функцию 
Ее наибольшее значение достигается при 
Итак, при 
отрезок имеет наибольшую длину. 
и параболы 
Решая уравнение 
или 
находим: 0 и 4. Выразим площади частей, на которые отрезок делит фигуру: 
что и требовалось доказать.
равно 
при помощи производной. Функция f(x) дифференцируема при всех 
Ее производная примет вид
при 
Заметим, что при всех положительных a критическая точка 
лежит на интервале 
Поскольку в этой точке 
меняет знак с минуса на плюс (действительно, 
то (см. рис.) 
По условию 
откуда 
и 
равно 4?
В точке минимума производная равна нулю, отсюда получаем систему уравнений:
откуда 
Подставив это значение в первое уравнение, получим: 
откуда 
тогда 
т. е. 
Необходимо еще проверить, равно ли 4 минимальное значение функции 
Поскольку производная 
равна нулю только при 
получаем, что 3 — единственная критическая точка функции у. Далее, 
и 
Характер монотонности функции y виден из рисунка. В точке 
функция у принимает минимальное значение: 
Таким образом, условиям задачи удовлетворяет единственное значение параметра 
равен 2?
На этой области функция непрерывна и дифференцируема, 
при 
В точке 
производная меняет знак с плюса на минус. Действительно, знаменатель дроби 
положительный, а числитель, представляющий собой линейную относительно х функцию, убывает. Таким образом, функция у возрастает на 
и убывает на 
а в точке 
достигает своего наибольшего значения. Характер монотонности функции на каждом из промежутков показан на рисунке. По условию задачи наибольшее значение функции равно 2. Составим уравнение 
т. е.
или 
и 
касается графика функции 
во-вторых, производная функции 
в этой точке должна быть равна угловому коэффициенту прямой 
Это условие выражается уравнением 
или 
Составим систему уравнений
: 
убывает на интервале 
Заметим, что 
Найдем производную:
имеет на 
одну критическую точку 
Тогда функция в этих точках примет вид 
и 
производная отрицательна и функция убывает на этом промежутке; на 
производная положительна и функция возрастает на этом промежутке. Для того, чтобы функция 
при 
необходимо и достаточно, чтобы этот интервал находился целиком в промежутке 
Это будет иметь место при 
т. е. 
или 
имеет единственную критическую (стационарную) точку?
должно иметь единственное решение, а значит, дискриминант уравнения 
должно иметь единственное решение:
находим искомые 
и 
в точке 
и касательная к графику функции 
в точке 
не пересекаются.
уравнение касательной к графику в точке 
имеет вид 
Аналогично, уравнение касательной к графику функции 
в точке 
выглядит следующим образом: 
Известно, что прямые не пересекаются, когда их угловые коэффициенты равны, а в уравнениях не совпадают свободные члены. Поэтому составим и решим систему:
при помощи производной. Определите, при каких значениях параметра a уравнение 
имеет три корня.
и при 
а возрастает при 
и при 
Причем 
— точки минимума, а 
— точка максимума.
поэтому каждое свое значение она принимает в парах симметричных точек, кроме 
Поэтому единственный шанс на ответ к задаче это 
Уравнение 
можно преобразовать, получим:
с помощью производной и выясните, при каких значениях a уравнение 
имеет одно решение.
и положительно при 
и при 
Значит, 
возрастает при 
и убывает при 
При этом 
- точка максимума, 
имеем 
(знак согласован со знаком x).
функция принимает все значения из промежутка 
принимаются по одному разу, −2 и 2 по два раза, а все остальные — по три раза, один раз на каждом промежутке монотонности.
при 
Возьмем ее производную при 
при 
она не определена:
которое отрицательно при 
и положительно при 
Значит, функция убывает при 
и возрастает при 
Поэтому при 
у функции минимум, 
и
два раза — один на промежутке убывания и второй на промежутке возрастания. Следовательно, уравнение 
при 
имеет два корня.
при 
на монотонность. Поскольку 
что отрицательно при 
и при 
но положительно при 
исходная функция убывает при 
и возрастает при 
При этом 
Поэтому на каждом из промежутков 
все значения из промежутка 
функция примет по одному разу. Значит, данное уравнение имеет три решения при всех 
касается кривой 
касалась кривой x0, необходимо и достаточно, чтобы значения обеих функций при 
совпадали и значение a (угловой коэффициент прямой) равнялось значению производной функции 
Производная этой функции равна 
Значит, искомые значения a должны удовлетворять системе
и 
не имеет корней?
которое не имеет корней, когда его дискриминант 
отрицателен. Таким образом, задача сводится к неравенству 
которое выполняется при 
Найдем ее производную 
и определим знаки производной в промежутках знакопостоянства (см. рис.). В точке 
исследуемая функция достигает максимального значения, а в точке 
и 
В то же время ясно, что при 
и 
а при 
и 
Значит, множество значений функции представляет собой объединение промежутков 
Для данного случая такое решение более громоздко и требует тонких пояснений, по которым можно было бы судить, что человек представляет себе очень хорошо расположение графика функции. Однако за приведенное решение (даже при отсутствии более подробных пояснений) оценка снижена быть не может. В идейном плане второе решение богаче, так как в нем предложен общий метод ответа на вопросы, аналогичные заданию 6.
возрастает на интервале 
тогда 
при 
Поскольку заданная функция непрерывна в точках 0 и 1, то эти точки также следует включить в промежутки возрастания. Итак, их два: 
и 
Интервал 
должен целиком содержаться в каком-нибудь из этих промежутков.
до 
меньше либо равно нулю, когда 
т. е. когда 
Каждое из чисел от 
т. е. когда 
или 
или когда левый конец отрезка лежит правее либо совпадает с началом луча, направленного вправо 
является точкой минимума функции 
Корнями квадратного трехчлена 
являются 
и 
Разберем три случая.
Из таблицы монотонности функции (рис. а) видим: 1 — точка минимума, a — точка максимума.
В этом случае функция возрастает на ℝ и точек минимума не имеет.
возрастает на интервале 
при 
(см. рис.), то для того, чтобы она возрастала на 
необходимо и достаточно, чтобы 
Т. е. число а должно удовлетворять системе неравенств
имеет ровно один экстремум на интервале 
определена и дифференцируема на ℝ,
и 
в которых ее производная меняет знак. Следовательно, обе эти точки являются точками экстремума. 
если 
т. е. при 
если 
т. е. при 
на промежутке 
находятся обе критические точки. Отсюда следует, что при 
на промежутке 
и 
т. е. 
т. е. 
является касательной к графику функции 
а при 
она имеет производную 
Предположим, что прямая касается графика в точке 
при 
Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система уравнений
не удовлетворяет системе 
а 
является ее решением. В этом случае
Если 
то
то
При 
не существует касательная вида 
так как при 
прямая 
Производная функции (2) 
поэтому угловой коэффициент касательной (3) в точке касания 
есть 
так как 
то и 
в уравнение прямой (3) получим
где 
проходящей через точку графика с абсциссой 
Составим 
при любом а, то найдем ту касательную (1), которая проходит через точку 
Ее угловой коэффициент 
то отсюда следует, что 
и 
равна 
и 
т. е. 
то 
и 
и 
Составим итоговую систему
уравнения является на 
равна 101.
было указано 
В этом случае задача не решается. Если решать задачу, исходя из присланного на экзамены условия 
то точки пересечения линий (рис. а)
(рис. б). Получаем:
откуда получаем 
Данное уравнение школьник решить не сможет.
) найдите промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции 
найдем критические точки. Так
и 
Определим знак производной, если 
Так
Производная положительна в интервале 
(см. рис.), следовательно, на первом промежутке функция возрастает, на втором убывает. Точка 
— точка максимума, значение в этой точке функция примет
и 
Производная отрицательна в интервале 
и положительна на луче 
(см. рис.), следовательно, на первом промежутке функция убывает, на втором возрастает. Итого 
является точка минимума, а значение в этой точке функция примет
возрастает на промежутке 
и убывает на промежутке 
при 
убывает на промежутке 
— точка экстремума, 
экстремум.
равен нулю?
Решив уравнение 
найдем критические точки функции. Воспользовавшись теоремой Виета, установим корни 
и 
квадратного уравнения. Числа −5 и 3 разбивают числовую ось на три промежутка. Определим знак производной на каждом из них (см. рис.). 
производная функции меняет знак с плюса на минус — это точка максимума; при переходе через точку 
знак меняется с минуса на плюс, и данная точка — точка минимума. Вычислим значение функции в точке максимума:
т. е.
и