Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3059
i

Ис­сле­дуй­те функ­цию y=x в сте­пе­ни 4 минус 2x в квад­ра­те плюс 3 при по­мо­щи про­из­вод­ной. Опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние x в сте­пе­ни 4 минус 2x в квад­ра­те плюс 3=a имеет три корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Найдём про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

y'= левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни 4 минус 2x в квад­ра­те плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка '=4x в кубе минус 2 умно­жить на 2x=4x в кубе минус 4x=4x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =4x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Найдём нули про­из­вод­ной:

4x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x=\pm 1. конец со­во­куп­но­сти .

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Те­перь ясно, что y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка убы­ва­ет при x мень­ше или равно минус 1 и при 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1, а воз­рас­та­ет при минус 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 и при x боль­ше или равно 1. При­чем x=\pm 1  — точки ми­ни­му­ма, а x=0  — точка мак­си­му­ма.

От­ме­тим также, что y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка   — чет­ная функ­ция, то есть y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =y левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му каж­дое свое зна­че­ние она при­ни­ма­ет в парах сим­мет­рич­ных точек, кроме y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му един­ствен­ный шанс на ответ к за­да­че это a=y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =3. Урав­не­ние y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 можно пре­об­ра­зо­вать, по­лу­чим:

x в сте­пе­ни 4 минус 2x в квад­ра­те плюс 3=3 рав­но­силь­но x в сте­пе­ни 4 минус 2x в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Видно, что оно имеет ровно три корня.

 

Ответ: 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3065

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 6 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025