РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4019

При каких значениях параметра a максимум функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 3x в квадрате минус 45x плюс a в кубе минус 3a в квадрате плюс 2a минус 175$ равен нулю?

Спрятать решение

Решение.

Данная функция определена и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Найдем ее производную $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате плюс 6x минус 45.$ Решив уравнение $x в квадрате плюс 2x минус 15=0,$ найдем критические точки функции. Воспользовавшись теоремой Виета, установим корни $x_1=3$ и $x_2= минус 5$ квадратного уравнения. Числа −5 и 3 разбивают числовую ось на три промежутка. Определим знак производной на каждом из них (см. рис.).

При переходе через точку $x = минус 5$ производная функции меняет знак с плюса на минус  — это точка максимума; при переходе через точку $x = 3$ знак меняется с минуса на плюс, и данная точка  — точка минимума. Вычислим значение функции в точке максимума:

$f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка = минус 125 плюс 75 плюс 225 плюс a в кубе минус 3a в квадрате плюс 2a минус 175=a в кубе минус 3a в квадрате плюс 2a.$

Из условия следует, что $f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка =0,$ т. е.

$a в кубе минус 3a в квадрате плюс 2a=0 равносильно a левая круглая скобка a в квадрате минус 3a плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно a левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка =0.$

Итак, максимум функции f(x) равен нулю при $a=0,$ $a=1$ и $a=2.$

Ответ: $a=0,$ $a=1$ и $a=2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4025

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 3, вариант 1

? Классификатор: Исследование функций, Функции, зависящие от параметра

Сложность: 6 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь