Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3899

Для каждого значения параметра a (a больше 0, a не равно 1) найдите промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции y=x умножить на \log _ax.

Спрятать решение

Решение.

Данная функция определена и дифференцируема на промежутке (0; плюс принадлежит fty ). Ее производная равна

y'= логарифм по основанию a x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln a конец дроби .

Решив уравнение y'=0, найдем критические точки. Так

 логарифм по основанию a x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln a конец дроби =0 равносильно логарифм по основанию a x= минус логарифм по основанию a e равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби .

Эта точка разбивает положительную часть числовой прямой на два промежутка  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби правая круглая скобка и  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка . Определим знак производной, если x=e. Так

y'(e)= логарифм по основанию a e плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln a конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: \ln a конец дроби .

Знак производной зависит от параметра a. При 0 меньше a меньше 1, то y'(e) меньше 0. Производная положительна в интервале  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби правая круглая скобка и отрицательна на луче  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка (см. рис.), следовательно, на первом промежутке функция возрастает, на втором убывает. Точка x= дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби  — точка максимума, значение в этой точке функция примет

y левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби умножить на логарифм по основанию a дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: e \ln a конец дроби .

При a больше 1, и y'(e) больше 0. Производная отрицательна в интервале  левая круглая скобка 0 ; дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби правая круглая скобка и положительна на луче  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка (см. рис.), следовательно, на первом промежутке функция убывает, на втором возрастает. Итого x= дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби , является точка минимума, а значение в этой точке функция примет

y левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби умножить на логарифм по основанию a дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: e \ln a конец дроби .

 

Ответ: функция при 0 меньше a меньше 1 возрастает на промежутке  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби правая круглая скобка и убывает на промежутке  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка ; при a больше 1 убывает на промежутке  левая круглая скобка 0 ; дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби правая круглая скобка и возрастает на промежутке  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка ; так x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби  — точка экстремума, y левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: e \ln a конец дроби экстремум.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3905

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1999 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 6 из 10