№ 3899 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 24. Задачи с параметром в анализе
i
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на промежутке 
Ее производная равна
Решив уравнение 
найдем критические точки. Так
Эта точка разбивает положительную часть числовой прямой на два промежутка 
и 
Определим знак производной, если 
Так
Знак производной зависит от параметра a. При 
то 
Производная положительна в интервале и отрицательна на луче 
(см. рис.), следовательно, на первом промежутке функция возрастает, на втором убывает. Точка 
— точка максимума, значение в этой точке функция примет
При 
и 
Производная отрицательна в интервале 
и положительна на луче 
(см. рис.), следовательно, на первом промежутке функция убывает, на втором возрастает. Итого 
является точка минимума, а значение в этой точке функция примет
Ответ: функция при 
возрастает на промежутке 
и убывает на промежутке 
при 
убывает на промежутке и возрастает на промежутке так 
— точка экстремума, 
экстремум.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: функция при
возрастает на промежутке
и убывает на промежутке
при
убывает на промежутке
и возрастает на промежутке
так
— точка экстремума,
экстремум.
Задание парного варианта: 3905
) найдите промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции 