При каких значениях параметра a прямая 
является касательной к графику функции 
Покажем несколько способов решения этой задачи.
Ⅰ способ. Данная функция определена при 
а при 
она имеет производную 
Предположим, что прямая касается графика в точке 
при 
Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система уравнений
Решим отдельно последнее уравнение системы, пользуясь ограничением Составим
где корень первого уравнения 
не удовлетворяет системе 
а 
является ее решением. В этом случае
Ответ: 
Ⅱ способ. Используются свойства квадратного трехчлена и квадратичной функции. Найдем такие значения а, при которых уравнение
имеет два одинаковых корня, касательная есть предельное положение секущей. Так же
Решим первое уравнение из (2) системы
При этом единственный корень уравнения (4), или, что то же, единственный корень уравнения (2) или уравнения (1) равен 
Если 
то
и условие (3) не выполняется. Если же 
то
условие (3) выполняется.
Ⅲ способ. Рассмотрим исходную и обратную к ней функции:
обратная к ней функция
и 
При 
не существует касательная вида к графику функции (1), поэтому соответственно при 
мы не рассматриваем касательную к графику функции (2). Нам достаточно рассмотреть значения величины 
так как при 
прямая не является касательной. Соответственно прямая
является касательной к графику функции (2), поскольку функция (3) является обратной к функции 
Производная функции (2) 
поэтому угловой коэффициент касательной (3) в точке касания 
есть 
так как 
то и 
отсюда
Подставляя 
в уравнение прямой (3) получим
Ⅳ способ. Напишем уравнение касательной к графику функции 
где 
проходящей через точку графика с абсциссой 
Составим
Так как исследуемая нами прямая проходит через точку 
при любом а, то найдем ту касательную (1), которая проходит через точку 
Ее угловой коэффициент 
Так как 
то отсюда следует, что
при 
Уравнение (2) преобразится к виду
Так как то 
Задание парного варианта: 3581