Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3526
i

Най­ди­те все такие по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, что функ­ция y=ax в квад­ра­те минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм x убы­ва­ет на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка 0; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Дан­ная функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на  левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . За­ме­тим, что  левая круг­лая скоб­ка 0; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка \subset левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем про­из­вод­ную:

y'=2ax минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но y'= дробь: чис­ли­тель: 2ax в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби .

Так как по усло­вию a боль­ше 0, то y' имеет на  левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка одну кри­ти­че­скую точку x_0= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби конец ар­гу­мен­та . Тогда функ­ция в этих точ­ках при­мет вид y' левая круг­лая скоб­ка 2x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 и

y' левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x_0, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2a умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8a конец дроби минус 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше 0.

Таким об­ра­зом, на  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2a конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на и функ­ция убы­ва­ет на этом про­ме­жут­ке; на  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2a конец ар­гу­мен­та конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая квад­рат­ная скоб­ка про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на и функ­ция воз­рас­та­ет на этом про­ме­жут­ке. Для того, чтобы функ­ция y=ax в квад­ра­те минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм x при a боль­ше 0 убы­ва­ла на  левая круг­лая скоб­ка 0; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы этот ин­тер­вал на­хо­дил­ся це­ли­ком в про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2a конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Это будет иметь место при 5 мень­ше или равно { дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2a конец ар­гу­мен­та конец дроби , т. е. 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2a конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1, или  си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 0,a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 50 конец дроби . конец си­сте­мы .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 50 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3532

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 5 из 10