Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3599

При каких положительных значениях параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями y=2 корень из (x) , y= минус x, x=a и x=4a равна  целая часть: 16, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 ?

Спрятать решение

Решение.

Найдем точки пересечения линий.

1) При y=2 корень из x и y= минус x, получим 2 корень из x = минус x, т. е. x=0, то O (0; 0);

2) При y=2 корень из x и x=a, то M (a; 2 корень из a );

3) При y=2 корень из x и x=4a, то N (4a; 4 корень из a );

4) При y= минус x и x=a, то K (a; минус a);

5) При y= минус x и x=4a, то P (4a; минус 4a).

 

Сделаем рисунок. Заметим, что искомая площадь равна сумме площадей криволинейной трапеции AMNB и трапеции АКРВ. Найдем

 S_AKPB = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на (AK плюс BP)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби 3a(a плюс 4a)= дробь: числитель: 15 a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби

и

 S_AMNB = принадлежит t \limits_a в степени (4a) \left 2 корень из x dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби \left дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x корень из x | \limits_a в степени (4a) = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби (4a умножить на 2 корень из a минус a корень из a )= дробь: числитель: 28, знаменатель: 3 конец дроби a корень из a ,

тогда S_общая= дробь: числитель: 15 a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 28, знаменатель: 3 конец дроби a корень из a = целая часть: 16, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 . Составим итоговую систему

 система выражений 45a в квадрате плюс 56a корень из a =101, a больше 0. конец системы .

Единственным решением данной системы является число 1, так как левая часть 45a в квадрате плюс 56a корень из a уравнения является на (0; плюс принадлежит fty ) монотонно возрастающей функцией, а следовательно, только в одной точке (а именно, в точке a=1) равна 101.

 

Ответ: \1\.

 

Замечание. К сожалению, в работах, направленных в школы, условие содержало опечатку: вместо x=a, x =4a, было указано y=a, y=4a. В этом случае задача не решается. Если решать задачу, исходя из присланного на экзамены условия (... y=a, y=4a ...), то точки пересечения линий (рис. а)

Q( минус 4a; 4a), P( минус a; a), M(4a в квадрате ; 4a), N левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби ; a правая круглая скобка .

Искомая площадь находится как сумма площадей трапеции PQAB, так

 S_PQAB = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3a(a плюс 4a)= дробь: числитель: 15a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Площадь этой фигуры может быть найдена как площадь криволинейной трапеции при рассмотрении обратной функции y= дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби (рис. б). Получаем:

S = принадлежит t \limits_a в степени (4a) дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби \left дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 12 конец дроби | \limits_a в степени (4a) = дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби (64a в кубе минус a в кубе )= дробь: числитель: 63 a в кубе , знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби a в кубе ,

тогда  дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби a в кубе плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате = целая часть: 16, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 , откуда получаем 63a в кубе плюс 90a в квадрате =202. Данное уравнение школьник решить не сможет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3605

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 6 из 10