РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3454

При каких значениях параметра a наименьшее значение функции $y=x плюс e в степени левая круглая скобка a минус x правая круглая скобка$ равно 4?

Спрятать решение

Решение.

Производная функции равна $y'=1 минус e в степени левая круглая скобка a минус x правая круглая скобка .$ В точке минимума производная равна нулю, отсюда получаем систему уравнений:

$система выражений 1 минус e в степени левая круглая скобка a минус x правая круглая скобка =0,x плюс e в степени левая круглая скобка a минус x правая круглая скобка =4. конец системы .$

Сложив соответствующие части этих уравнений получим: $1 плюс x=4,$ откуда $x=3.$ Подставив это значение в первое уравнение, получим: $1 минус e в степени левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка =0,$ откуда $e в степени левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка =1,$ тогда $a минус 3=0,$ т. е. $a=3.$ Необходимо еще проверить, равно ли 4 минимальное значение функции $y=x плюс e в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка .$ Поскольку производная $y=1 минус e в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка$ равна нулю только при $x=3,$ получаем, что 3  — единственная критическая точка функции у. Далее, $y' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1 минус e меньше 0$ и $y' левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =1 минус e в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше 0.$ Характер монотонности функции y виден из рисунка. В точке $x=3$ функция у принимает минимальное значение: $y левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =3 плюс e в степени левая круглая скобка 3 минус 3 правая круглая скобка =4.$ Таким образом, условиям задачи удовлетворяет единственное значение параметра $a=3.$

Ответ: $a=3.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3460

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1994 год, работа 3, вариант 1

? Классификатор: Исследование функций, Функции, зависящие от параметра

Сложность: 5 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь