Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3286
i

Фи­гу­ра огра­ни­че­на ли­ни­я­ми y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те и y=x. От­ре­зок наи­боль­шей длины, за­клю­чен­ный внут­ри этой фи­гу­ры и при­над­ле­жа­щий пря­мой x=a, делит фи­гу­ру на две части. До­ка­жи­те, что пло­ща­ди этих ча­стей равны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем зна­че­ние a, при ко­то­ром от­ре­зок пря­мой x=a, за­клю­чен­ный внут­ри фи­гу­ры, имеет наи­боль­шую длину. По­сколь­ку для абс­цисс точек этой фи­гу­ры вы­пол­ня­ет­ся усло­вие x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те , длина от­рез­ка да­ет­ся фор­му­лой a минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a в квад­ра­те . Рас­смот­рим квад­ра­тич­ную функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те . Ее наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при x= дробь: чис­ли­тель: минус 1, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус \tfrac14 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =2. Итак, при a=2 от­ре­зок имеет наи­боль­шую длину.

Най­дем абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния пря­мой y=x и па­ра­бо­лы y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те . Решая урав­не­ние x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те , или x левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x пра­вая круг­лая скоб­ка =0, на­хо­дим: 0 и 4. Вы­ра­зим пло­ща­ди ча­стей, на ко­то­рые от­ре­зок делит фи­гу­ру:

 S_1 = ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 2, левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до 2, = 2 минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: конец дроби 12 = целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 ,

 S_2 = ин­те­грал пре­де­лы: от 2 до 4, левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 2 до 4, = левая круг­лая скоб­ка 8 минус дробь: чис­ли­тель: 64, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 2 минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 .

Таким об­ра­зом, S_1=S_2, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3292

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 10, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 5 из 10