PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Возведем в квадрат обе части уравнения 
Имеем:
Итак, 
должно быть неотрицательно (выражение 
во всех этих точках совпадает с 
поэтому тоже будет неотрицательно). Подставим:
и тогда 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
тогда 
и 
(иначе выражение 
присутствующее в условии, будет не определено). Получаем 
ОДЗ неравенства задается условиями 
поэтому 
Используем теперь метод рационализации
это допустимо, поскольку точка 
все равно будет выброшена из-за ОДЗ. Получим 
и возведем в квадрат:
Тогда имеем:
принадлежащие промежутку [π; 3π].
Запомним, что 
и возведем в квадрат:
Тогда
(последнее невозможно). Первое уравнение дает 
лежат 
из первого набора и 
из второго.
удовлетворяющие условию 
то 
т. е. 
откуда 
для найденных корней:
— условие выполнено, тогда 
— условие не выполнено.
Получим
то значение 
не является решением уравнения.
):
тогда 
и 
Эти значения x являются решением.
тогда 
n и 
так как 
Эти значения x не являются решением.
тогда 
и
Эти значения x являются решением.
тогда 
и 
Эти значения x являются решением.
тогда 
и 
Эти значения x не являются решением.
тогда 
и 
поэтому неравенство не выполняется, а при 
и 
поэтому неравенство выполняется. Наконец, при 
обе части неравенства равны 2 и оно не выполняется.
Получаем:
т. e. 
или 
Используя условия равенства логарифмов с одинаковыми основаниями, перейдем к уравнению 
и сделаем замену 
Получим уравнение 
и 
Начнем проверку с числа 3 и убедимся, что оно является корнем. После этого представим левую часть уравнения в виде 
и найдем все корни последнего уравнения: 
Проверка показывает, что только 
удовлетворяет исходному уравнению, так как 
а логарифмы с такими основаниями не определены.
то первое слагаемое 
где 
тогда 
получаем:
и не удовлетворяет условию 
Остается корень 
отсюда
то есть 
Также заметим, что
и 
неотрицательны при 
). Имеем:
и возведем в квадрат:
Первое семейство подходит, но уже перечислено. Для второго и третьего имеем 
и 
поэтому они не подходят.
(то есть 
). Тогда 
где x0 — корень уравнения 
равносильно системе 
тогда 
удовлетворяет системе, 
не удовлетворяет системе. 
т. е. 
поскольку 
а 
откуда 
и 
Поскольку длина отрезка 
равна 6 и меньше 2π, из этого отрезка исключается не более одной точки вида 
то есть точка 
Таким образом, исходное неравенство необходимо решить только для 
Рассмотрим два случая. 
и 
исходное неравенство выполняется, потому что величина под знаком корня равна нулю.
В этом случае 
и исходное неравенство равносильно следующему:
Тогда неравенство (1) примет вид 
получаем 
и 
(так как 
), то из полученной совокупности получаем (см. рис.)
имеет корни 
При 
При 
на 
имеем:
определен при 
при остальных k: 
разрывна в точке 
при 
или 
Тогда при 
при остальных k: 
имеет две серии решений. Первая серия 
Тогда при 
при всех остальных l: 
Тогда при 
при всех остальных m: 
мы получаем ответ. 
так как при 
решений нет. Если 
то 
и 
Поэтому достаточно решить уравнение 
Мы получаем, что исходное уравнение равносильно системе
поэтому при 
это уравнение не имеет решений. Наименьшее по модулю решение уравнения 
удовлетворяет условию 
Поскольку 
то 
а значит 
и выполняется условие 
Остальные решения уравнения 
можно записать в виде двух серий
и поскольку 
то для любого числа x серии (5) 
При 
и для серии (6) 
То есть для каждого из решений (5), (6) уравнения (2) не выполняется условие (4). Таким образом, мы получаем, что исходное уравнение имеет единственное решение 
получим
данному неравенству. Ясно, что 
остается только сравнить числа 
и 
Имеем:
то и 
поэтому оно не лежит в множестве решений неравенства.
не удовлетворяет неравенству.
и преобразуем числитель
и 
При этом 
иначе не определен 
(или равен нулю, если 
).
имеем 
имеем 
и 
дающие соответственно 
и 
то есть 
Первое даст 
тогда 
Эти действия допустимы, поскольку 
где 
присутствующее в условии, будет не определено. Получаем 
Используем теперь метод рационализации
или 
С учетом ОДЗ получаем окончательный ответ 
то
то 
Таким образом, все различные решения совокупности (5), (6), — это числа 
(7), а также решения уравнения (5):
сводится к следующему. Запишем второй множитель иначе:
т. е. множества решений (9) и (11) не пересекаются. Для решений уравнения (10) 
т. е. корни уравнения (10) содержатся среди корней уравнения (11). Таким образом, совокупность (9) − (11) равносильна совокупности двух уравнений (9), (11), причем множества их решений не пересекаются.
Обозначим 
Тогда
(при этих условиях аргумент логарифма автоматически положителен, ведь 
Применим метод рационализации:
(других корней нет). Применяя метод интервалов, получаем 
Учитывая ОДЗ и условие 
получим 
Сделав обратную замену, получаем:
