Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2851
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: 3 минус 4 синус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 6x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби плюс \left| ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 9x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби | мень­ше 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим вре­мен­но 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =t и пре­об­ра­зу­ем чис­ли­тель

3 минус 4 синус t минус 2 ко­си­нус 2t=3 минус 4 синус t минус 2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те t пра­вая круг­лая скоб­ка =4 синус в квад­ра­те t минус 4 синус t плюс 1= левая круг­лая скоб­ка 2 синус t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Сле­до­ва­тель­но чис­ли­тель пер­вой дроби не­от­ри­ца­те­лен, зна­ме­на­тель тоже (арк­ко­си­нус все­гда не­от­ри­ца­те­лен), вто­рое сла­га­е­мое тоже не­от­ри­ца­тель­но, сумма не может быть мень­ше нуля.

Воз­мож­но дол­жен быть не­стро­гий знак? Тогда ре­ше­ние про­дол­жа­ет­ся.

Если же их сумма равна нулю, то 2 синус t минус 1=0 и  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 9x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0. При этом x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;2 пра­вая круг­лая скоб­ка , иначе не опре­де­лен  арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби (или равен нулю, если x=2).

Решим вто­рое урав­не­ние

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 9x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но 9x=2 Пи плюс 4 Пи k рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи плюс 4 Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,  k при­над­ле­жит Z .

Вы­бе­рем те­перь под­хо­дя­щие k. При k боль­ше или равно 1 имеем

x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи плюс 4 Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 Пи плюс 4 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше 2.

При k мень­ше или равно минус 2 имеем

x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи плюс 4 Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 Пи плюс 4 Пи умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше минус 2.

Зна­чит, оста­ют­ся воз­мож­но­сти k=0 и k= минус 1, да­ю­щие со­от­вет­ствен­но x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби и x= минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Под­ста­вим их те­перь в урав­не­ние 2 синус t минус 1=0, то есть  синус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Пер­вое даст

 синус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Вто­рое даст

 синус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: минус 2 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Вто­рое нам не под­хо­дит. По­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2857

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 8 из 10