Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2707
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _ минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 дробь: чис­ли­тель: 7 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно минус 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­мно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби на 2 в сте­пе­ни x не равно 0, по­лу­чим

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7 минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x минус 2 конец дроби мень­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7, зна­ме­на­тель: 2 минус 2 в сте­пе­ни x конец дроби мень­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус 2 в сте­пе­ни x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 мень­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

При всех пре­об­ра­зо­ва­ни­ях до сих пор не ме­ня­лась ОДЗ (даже при ис­поль­зо­ва­нии фор­му­лы ло­га­риф­ма част­но­го, ведь зна­ме­на­тель сов­па­дал с ос­но­ва­ни­ем ло­га­риф­ма, по­это­му был по­ло­жи­те­лен). Вы­яс­ним ее те­перь

 си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 боль­ше 0, минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 не равно 1, 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 в сте­пе­ни x мень­ше 2,2 в сте­пе­ни x не равно 1 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 7 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше 1,x не равно 0, 3x плюс 5 боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше 1,x не равно 0, x боль­ше дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец си­сте­мы .

Ис­поль­зу­ем те­перь метод ра­ци­о­на­ли­за­ции

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 минус 1, зна­ме­на­тель: минус 2 в сте­пе­ни x плюс 2 минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8, зна­ме­на­тель: 1 минус 2 в сте­пе­ни x конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в кубе , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни 0 минус 2 в сте­пе­ни x конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3x плюс 5 минус 3, зна­ме­на­тель: 0 минус x конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3x плюс 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x\leqslant минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,x боль­ше 0. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что

 дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 8 минус 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

по­это­му ответ с уче­том ОДЗ по­лу­ча­ет­ся таким x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Судя по от­ве­ту, был еще во­прос, удо­вле­тво­ря­ет ли число  минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби дан­но­му не­ра­вен­ству. Ясно, что  минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , оста­ет­ся толь­ко срав­нить числа  дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и  минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Имеем:

 дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \vee минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 4 левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка \vee −9 рав­но­силь­но

 4 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 20\vee −9 рав­но­силь­но 4 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7\vee 11 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 в сте­пе­ни 4 \vee ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 7 в сте­пе­ни 4 \vee 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2401 \vee 2048.

По­сколь­ку 2401 боль­ше 2048, то и  дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , по­это­му оно не лежит в мно­же­стве ре­ше­ний не­ра­вен­ства.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка ; x= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби не удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2713

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 8 из 10