№ 2562 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 12. Комбинированные уравнения и неравенства
i
Решите уравнение 
Решение. Представим правую часть уравнения в виде 
или 
Используя условия равенства логарифмов с одинаковыми основаниями, перейдем к уравнению
Последнее уравнение является следствием исходного, поскольку мы еще не обсуждали вопрос об области допустимых значений левой части исходного уравнения. Избавившись от логарифма по основанию x в левой части уравнения, мы могли приобрести посторонние решения. Поэтому возможны два выхода: по окончании решения показательного уравнения сделать проверку корней или сразу задать ограничения, вытекающие из свойств логарифмической функции. Выберем первый путь. Домножим обе части показательного уравнения на
и сделаем замену 
Получим уравнение
Будем искать его рациональные корни. Начнем с поиска целых корней. «Претендентами» можно считать все целые делители числа 162. Однако нет смысла проверять каждый делитель.
Заметим, что из четырех коэффициентов многочлена из левой части уравнения три делятся на 3, поэтому нет смысла проверять числа 
и 
Начнем проверку с числа 3 и убедимся, что оно является корнем. После этого представим левую часть уравнения в виде 
и найдем все корни последнего уравнения: 
Возвращаясь к переменной x, получим 
Проверка показывает, что только 
удовлетворяет исходному уравнению, так как 
а логарифмы с такими основаниями не определены.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2568
