Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2888
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _ 2 минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2y плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус y пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 конец дроби плюс 1 мень­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус 2 в сте­пе­ни y пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2y плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни y , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус y пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 конец дроби плюс 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус 2 в сте­пе­ни y пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2y плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни y конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни y конец дроби минус 1 конец дроби плюс 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус 2 в сте­пе­ни y пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3y плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7, зна­ме­на­тель: 2 минус 2 в сте­пе­ни y конец дроби плюс 1 мень­ше или равно 0.

За­ме­тим, что мы до­мно­жи­ли чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 2 в сте­пе­ни y не равно 0. Обо­зна­чим 2 в сте­пе­ни y =t боль­ше 0. Тогда

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни 5 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус 7, зна­ме­на­тель: 2 минус t конец дроби плюс 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 32t в кубе , зна­ме­на­тель: 2 минус t конец дроби плюс 1 мень­ше или равно 0.

ОДЗ этого не­ра­вен­ства 2 минус t боль­ше 0, 2 минус t не равно 1 (при этих усло­ви­ях ар­гу­мент ло­га­риф­ма ав­то­ма­ти­че­ски по­ло­жи­те­лен, ведь t боль­ше 0), то есть t мень­ше 2, t не равно 1. При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 32t в кубе , зна­ме­на­тель: 2 минус t конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 32t в кубе , зна­ме­на­тель: 2 минус t конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка 32t в кубе мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 32t в кубе , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 32t в кубе минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 32t в кубе минус 1, зна­ме­на­тель: 2 минус t минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 32t в кубе минус 1, зна­ме­на­тель: 1 минус t конец дроби мень­ше или равно 0.

Ко­рень зна­ме­на­те­ля t  =  1, ко­рень чис­ли­те­ля t= ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби конец ар­гу­мен­та =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка 3 мень­ше 1 (дру­гих кор­ней нет). При­ме­няя метод ин­тер­ва­лов, по­лу­ча­ем t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Учи­ты­вая ОДЗ и усло­вие t боль­ше 0, по­лу­чим t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сде­лав об­рат­ную за­ме­ну, по­лу­ча­ем:

2 в сте­пе­ни y при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но y при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2894

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 9 из 10