Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2598

Решите уравнение  корень из (1 минус косинус x) плюс корень из ( косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ) = корень из (2) .

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем:

 корень из (1 минус косинус x) плюс корень из ( минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) = корень из 2 равносильно корень из (2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) плюс корень из ( минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) .

Так как левая часть определена только лишь при  минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0, то первое слагаемое

 корень из (2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) = \left| синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби | умножить на корень из 2 = минус корень из 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби .

Уравнение принимает вид

 корень из 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из ( минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) = корень из 2 .

Пусть  корень из ( минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) = t, где t больше или равно 0, тогда  синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = t в квадрате , получаем:

 корень из 2 t в квадрате плюс t минус корень из 2 = 0 равносильно совокупность выражений t_1 = дробь: числитель: минус 1 минус 3, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби ,t_2 = дробь: числитель: минус 1 плюс 3, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби , конец совокупности .

корень t_1 меньше 0 и не удовлетворяет условию t больше или равно 0. Остается корень t_2 больше или равно 0, отсюда

 корень из ( минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = ( минус 1) в степени (n плюс 1) дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n равносильно x = ( минус 1) в степени (n плюс 1) дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z .

Ответ: \left\ ( минус 1) в степени (n плюс 1) дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2604

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы, Тригонометрические уравнения , Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 7 из 10