Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2682
i

Ре­ши­те урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус x плюс синус 2x плюс синус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби плюс синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби =0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из урав­не­ния сле­ду­ет, что  синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 0, так как при  синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби боль­ше 0 ре­ше­ний нет. Если \absx боль­ше 1, то 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби мень­ше 1 и  синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби боль­ше 0. По­это­му до­ста­точ­но ре­шить урав­не­ние |x| мень­ше или равно 1. Мы по­лу­ча­ем, что ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x плюс синус 2x плюс синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби = синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби , синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 0, |x| мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 2 синус x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 0, |x| мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, синус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . , синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 0, |x| мень­ше или равно 1 конец со­во­куп­но­сти .

Наи­мень­шее по мо­ду­лю ре­ше­ние урав­не­ния  ко­си­нус x=0: x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 1, по­это­му при |x| мень­ше или равно 1 это урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Наи­мень­шее по мо­ду­лю ре­ше­ние урав­не­ния  синус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : x_0= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби удо­вле­тво­ря­ет усло­вию |x| мень­ше или равно 1;  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_0 в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: Пи в квад­ра­те конец дроби . По­сколь­ку 3 мень­ше Пи мень­ше 3,2, то

9 мень­ше Пи в квад­ра­те мень­ше 11 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: Пи в квад­ра­те конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби рав­но­силь­но 3,2 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: Пи в квад­ра­те конец дроби мень­ше 4,

то есть  Пи мень­ше дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: Пи в квад­ра­те конец дроби мень­ше 2 Пи , а зна­чит  синус дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: Пи в квад­ра­те конец дроби мень­ше 0 и вы­пол­ня­ет­ся усло­вие  синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 0. Осталь­ные ре­ше­ния урав­не­ния  синус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби можно за­пи­сать в виде двух серий

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 12k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,k при­над­ле­жит Z ,k не равно 0, \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 12n минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , n при­над­ле­жит Z . \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец со­во­куп­но­сти .

При k при­над­ле­жит Z , k не равно 0: |12k минус 1| боль­ше или равно 11, и по­сколь­ку  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3,14, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то для лю­бо­го числа x серии (5) |x| боль­ше 1. При n при­над­ле­жит Z : |12n минус 5| боль­ше или равно 5, и для серии (6) |x| боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 боль­ше 1. То есть для каж­до­го из ре­ше­ний (5), (6) урав­не­ния (2) не вы­пол­ня­ет­ся усло­вие (4). Таким об­ра­зом, мы по­лу­ча­ем, что ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2689

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния , Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 8 из 10