Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2682

Решите уравнение  корень из косинус x плюс синус 2x плюс синус в квадрате дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби плюс синус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби =0.

Спрятать решение

Решение.

Из уравнения следует, что  синус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0, так как при  синус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби больше 0 решений нет. Если \absx больше 1, то 0 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше 1 и  синус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби больше 0. Поэтому достаточно решить уравнение |x| меньше или равно 1. Мы получаем, что исходное уравнение равносильно системе

 система выражений косинус x плюс синус 2x плюс синус в квадрате дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби = синус в квадрате дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби , синус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0, |x| меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений косинус x левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка =0, синус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0, |x| меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x=0, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . , синус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0, |x| меньше или равно 1 конец совокупности .

Наименьшее по модулю решение уравнения  косинус x=0: x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше 1, поэтому при |x| меньше или равно 1 это уравнение не имеет решений. Наименьшее по модулю решение уравнения  синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби : x_0= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби удовлетворяет условию |x| меньше или равно 1;  дробь: числитель: 1, знаменатель: x_0 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи в квадрате конец дроби . Поскольку 3 меньше Пи меньше 3,2, то

9 меньше Пи в квадрате меньше 11 равносильно дробь: числитель: 36, знаменатель: 11 конец дроби меньше дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 36, знаменатель: 9 конец дроби равносильно 3,2 меньше дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи в квадрате конец дроби меньше 4,

то есть  Пи меньше дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи в квадрате конец дроби меньше 2 Пи , а значит  синус дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи в квадрате конец дроби меньше 0 и выполняется условие  синус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0. Остальные решения уравнения  синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби можно записать в виде двух серий

 совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби левая круглая скобка 12k минус 1 правая круглая скобка ,k принадлежит Z ,k не равно 0, \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби левая круглая скобка 12n минус 5 правая круглая скобка , n принадлежит Z . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец совокупности .

При k принадлежит Z , k не равно 0: |12k минус 1| больше или равно 11, и поскольку  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби больше дробь: числитель: 3,14, знаменатель: 6 конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , то для любого числа x серии (5) |x| больше 1. При n принадлежит Z : |12n минус 5| больше или равно 5, и для серии (6) |x| больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 больше 1. То есть для каждого из решений (5), (6) уравнения (2) не выполняется условие (4). Таким образом, мы получаем, что исходное уравнение имеет единственное решение x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

 

Ответ:  левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2689

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы, Тригонометрические уравнения , Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 8 из 10