Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2921

Решите уравнение:  левая круглая скобка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус 2x правая круглая скобка корень из ( косинус x) =0.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем сумму, стоящую в скобках, в произведение:

 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус x плюс синус дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус 2x= левая круглая скобка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка синус x плюс синус 2x правая круглая скобка =2 синус x косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 синус дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби косинус x2=

=2 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус x плюс синус дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =4 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: 5x, знаменатель: 4 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби .

Исходное уравнение будет равносильно уравнению

 корень из ( косинус x) косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби синус дробь: числитель: 5x, знаменатель: 4 конец дроби =0 равносильно совокупность выражений косинус x=0, система выражений косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0, косинус x больше или равно 0, конец системы . система выражений косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби =0, косинус x больше или равно 0, конец системы . система выражений синус дробь: числитель: 5x, знаменатель: 4 конец дроби =0, косинус x больше или равно 0. конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, система выражений совокупность выражений x= Пи плюс 2 Пи k,x=2 Пи плюс 4 Пи k,x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби Пи k, конец системы . косинус x больше или равно 0. конец совокупности . конец совокупности . k принадлежит Z .

Так как  косинус ( Пи плюс 2 Пи k)= минус 1 меньше 0, то значение x= Пи плюс 2 Пи k не является решением уравнения.

Рассмотрим последнее полученное значение в совокупности. Имеем пять случаев (n принадлежит Z ):

1) k=5n, тогда x=4 Пи и  косинус (4 Пи n)=1 больше 0. Эти значения x являются решением.

2) k=5n плюс 1, тогда x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс \4 Пи n и  косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 4 Пи n правая круглая скобка меньше 0, так как  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 5 конец дроби меньше Пи . Эти значения x не являются решением.

3) k=5n плюс 2, тогда x= дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 4 Пи n= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи (2n плюс 1) и косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи (2n плюс 1) правая круглая скобка . Эти значения x являются решением.

4) k=5n плюс 3, тогда x= дробь: числитель: 12 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс \4 Пи n= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи (2n плюс 1) и  косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи 2n плюс 1 правая круглая скобка больше 0. Эти значения x являются решением.

5) k=5n плюс 4, тогда x= дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 4 Пи n= минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 4 Пи (n плюс 1) и  косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 4 Пи (n плюс 1) правая круглая скобка меньше 0. Эти значения x не являются решением.

Таким образом, вернувшись к исходной совокупности, получаем следующие решения:

 совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=2 Пи плюс 4 Пи k,x=4 Пи n,x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи (2n плюс 1),x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи (2n плюс 1). конец совокупности . k,n принадлежит Z .

Вторую и третью серию можно объединить: x=2 Пи m; m принадлежит Z .

 

Ответ: \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; 2 Пи m; \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс 2 Пи (2n плюс 1): k,n,m принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2925

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2002 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10