Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2921
i

Ре­ши­те урав­не­ние:  левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та =0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем сумму, сто­я­щую в скоб­ках, в про­из­ве­де­ние:

 синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус x плюс синус дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус 2x= левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка синус x плюс синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 синус x ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 синус дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x2=

=2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус x плюс синус дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =4 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: 5x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ис­ход­ное урав­не­ние будет рав­но­силь­но урав­не­нию

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: 5x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0, ко­си­нус x боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0, ко­си­нус x боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний синус дробь: чис­ли­тель: 5x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0, ко­си­нус x боль­ше или равно 0. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= Пи плюс 2 Пи k,x=2 Пи плюс 4 Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби Пи k, конец си­сте­мы . ко­си­нус x боль­ше или равно 0. конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Так как  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка Пи плюс 2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 мень­ше 0, то зна­че­ние x= Пи плюс 2 Пи k не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния.

Рас­смот­рим по­след­нее по­лу­чен­ное зна­че­ние в со­во­куп­но­сти. Имеем пять слу­ча­ев (n при­над­ле­жит Z ):

1)  k=5n, тогда x=4 Пи и  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 4 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка =1 боль­ше 0. Эти зна­че­ния x яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем.

2)  k=5n плюс 1, тогда x= дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс \4 Пи n и  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, так как  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше Пи . Эти зна­че­ния x не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем.

3)  k=5n плюс 2, тогда x= дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 Пи n= минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2 Пи левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2 Пи левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка . Эти зна­че­ния x яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем.

4)  k=5n плюс 3, тогда x= дробь: чис­ли­тель: 12 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс \4 Пи n= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2 Пи левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2 Пи 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0. Эти зна­че­ния x яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем.

5)  k=5n плюс 4, тогда x= дробь: чис­ли­тель: 16 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 Пи n= минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 Пи левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 Пи левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0. Эти зна­че­ния x не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем.

Таким об­ра­зом, вер­нув­шись к ис­ход­ной со­во­куп­но­сти, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие ре­ше­ния:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=2 Пи плюс 4 Пи k,x=4 Пи n,x= минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2 Пи левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2 Пи левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти . k,n при­над­ле­жит Z .

Вто­рую и тре­тью серию можно объ­еди­нить: x=2 Пи m; m при­над­ле­жит Z .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k; 2 Пи m; \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2 Пи левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка : k,n,m при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2925

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2002 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 6 из 10