PDF-версии: 
В квадратном уравнении 
определить m так, чтобы выполнялось равенство 
где x1, x2 корни уравнения.
Решение. По теореме Виета получаем 
откуда
и 
Тогда
Уравнение 
действительно имеет корни 
и 
удовлетворяющие условию задачи.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
больше единицы.
и домножим уравнение на 
поэтому данное выражение положительно при 
или 
и отрицательно при 
(при таких b корней нет). Выясним теперь, при каких b у данного уравнения есть корни 
или 
Подставим их:
при 
или 
При 
При 
уравнение не имеет корней.
откуда 
Уравнение 
приводится к квадратному 
единственным положительным корнем которого является число 2.
если 
удовлетворяет условию 
следует, что 
При 
где 
получаем
получаем
так как
или 
Соответственно, при 
и 
В результате, возможные значения 
будут 
в точке графика с абсциссой 
проходит через точку 
Для заданной функции 
тогда 
получим 
Уравнение касательной имеет вид 
или 
Подставляя в него координаты точки M, получим уравнение 
откуда 
имеет единственное решение? Найдите это решение.
Тогда исходное уравнение принимает вид 
а при 
корнем уравнения является 
(А). Необходимо теперь выделить множество тех значений параметра а, для которых выражение (А) удовлетворяет условию
Рассмотрим неравенство
Итак, на множестве
значений переменного х исходное уравнение при 
не имеет решений; при 
имеет единственное решение (А). Рассмотрим теперь случай 
Исходное уравнение принимает вид 
При 
имеет корень 
(Б). Теперь проверим выполнение условия 
Таким образом, на множестве 
значений переменного х исходное уравнение при 
имеет единственное решение (Б). Рассматривая в делом результаты для случаев 
и 
получаем, что исходное уравнение при 
не имеет решений; при 
имеет единственное решение (Б); при 
уравнение имеет единственное решение: 
Поэтому достаточно рассмотреть это уравнение на множестве 
значений переменного х. Пусть 
— какой−либо корень исходного уравнения. Тогда 
(В). Обратно, пусть выполняется соотношение (В) для некоторых двух значений параметра и неизвестного. Тогда при этом значении параметра величина х — один из корней исходного уравнения. В частности, если x1 и x2 — корни исходного уравнения при некотором значении параметра a0, то 
и 
Отсюда следует, что множество искомых значений параметра состоит из таких чисел a0, для каждого из которых график функции (В) пересекается прямой a = a0 ровно в одной точке (на плоскости 
при 
и 
Горизонтальная асимптота правой ветви графика — прямая x = 1, левой ветви — прямая x = −1. На графике видно, что прямая a = a0 пересекает его ровно в одной точке при 
Единственный раз прямая a = a0 пересекает график функции (В) в его левой части, которая задается уравнением 
откуда 
оно не имеет решений, при 
выполняется при всех x. Таким образом, при 
решений нет; при 
Параболы касаются оси тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет единственное решение. Дискриминант уравнения равен нулю, если 
то есть, если 
или 
имеет решения?
Множество значений функции 2x — все положительные числа, поэтому заданное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет положительные решения. По теореме, обратной теореме Виета, корнями полученного квадратного уравнения являются 
имеет положительные корни при 
при 
на монотонность. Поскольку 
что положительно при 
и при 
но отрицательно при 
исходная функция возрастает при 
и при 
и убывает при 
При этом 
Поэтому на каждом из промежутков 
все значения из промежутка 
функция примет по одному разу. Значит, данное уравнение имеет три решения при всех 
и 
имеют хотя бы один общий корень.
Последнюю серию удобно представить в виде двух серий: 
и 
(k1, k2 — целые). Если 
то 
и 
При четных k1 выражение 
принимает значение 
при нечетных 
Если 
то 
если k2 — четное; 
при нечетных k2. Таким образом, возможные значения a: 
−1 и 1.
то 
Подставив выражение 
вместо 
в уравнение 
получим 
Используя основное тригонометрическое тождество, получим уравнение относительно a: 
a после подстановки 
перейдем к уравнению 
Отсюда 
или 
тогда 
и 
мы фактически перешли от уравнения к его следствию (такой же характер имел переход от уравнений 
к уравнению 
Появилась возможность приобретения посторонних значений a. Поэтому необходимо убедиться, что для каждого из найденных a существует х, удовлетворяющий обоим данным уравнениям.
такое значение х существует 
при 
получаем соответствующие значения x: 
и 
Таким образом, все найденные значения a подходят.
В этом случае неравенство можно переписать в виде 
Его решениями будут все x из промежутка 
Поскольку левая часть исходного неравенства определена при 
а при таких а выражение 
принимает положительные значения, а выражение 
—
и только они будут решениями исходного неравенства.
Определим все значения x, при которых левая часть исходного неравенства обращается в ноль. Таких чисел два: a и 2. Найдем теперь решения неравенства 
Его левая часть определена при 
число 2 не является решением неравенства, а при 
Неравенство свелось к линейному: 
решения которого 
и 
при 
при 
при 
(рис. а); 
при 
(рис. б); 
при 
(рис. в). Остается в каждом из трех случаев рассмотреть пересечение полученного множества и решения неравенства 
имеет 4 различных решения?
то уравнение (А) имеет четыре различных корня 
Более четырех корней уравнение (А) иметь не может, поскольку при 
и при 
это уравнение — квадратное. С другой стороны, если уравнение (А) имеет четыре различных корня, то они имеют вид u; −u; p; -p, и уравнение (Б) имеет два различных положительных корня |u| и |р|. Найдем зависимость корней уравнения (Б) от параметра а, вычислив дискриминант D уравнения (А):
и 
Отсюда получаем систему
означает, что абсцисса вершины графика квадратного трехчлена 
положительна. Условие 
— что этот график (парабола) пересекает ось Оу в верхней полуплоскости, а условие 
— что вершина параболы находится в нижней полуплоскости (см. рис.). Отсюда следует, что корни квадратного трехчлена f(t) положительны и различны, поскольку ветви параболы направлены вверх. Таким образом, мы доказали: для того чтобы уравнение (А) имело четыре различных корня, необходимо и достаточно выполнение условий 
а также 
Воспользовавшись выражением 
имеет единственное решение?
тогда 
и исходное уравнение принимает вид
и 
уравнения (1) и наоборот. Отсюда следует, что задача определения таких значений параметра а, при которых уравнение (1) имеет единственное положительное решение, равносильна исходной.
откуда следует, что корни существуют при любом a: 
и 
Возможны три различных случая.
Этот случай имеет место только тогда, когда 
При этом 
т. е. уравнение (1) имеет единственное положительное решение.
и никакой из корней не равен нулю. В данном случае, если положительный корень единствен, то другой корень — отрицателен. Это возможно тогда и только тогда, когда 
т. е. 
и какой-то из корней равен нулю. Если 
то 
Этот случай не подходит. Если же 
то 
Значит, уравнение (1) имеет единственный положительный корень.
имеет единственное решение?
где, очевидно, 
Отсюда 
Таким образом, исходное уравнение имеет один корень при тех и только тех значениях а, при которых уравнение 
имеет один неотрицательный корень. Квадратное уравнение
Если 
т. е. 
то уравнение (1) имеет один корень 
который положителен, а следовательно, исходное уравнение при 
имеет один корень. Если 
т. е. 
то уравнение (1) имеет два корня. Если при этом 
то эти корни разных знаков, т. е. из них только один положительный. Таким образом, при 
уравнение (1) имеет один положительный корень, значит, и исходное уравнение имеет один корень. При 
уравнение (1) имеет два корня 
и 
т. е. и исходное уравнение имеет два корня.
и рассмотрим функцию 
у которой 
Исходное уравнение имеет один корень при тех значениях а, которые соответствуют значениям функции а (x), принимаемым ровно один раз. Найдем производную
это 
Далее, 
и 
Отсюда следует (см. рис.), что на промежутке 
функция a(x) возрастает, а на промежутке 
функция a(x) убывает. Далее, 
и 
Таким образом, при 
рассмотрим на совместном рисунке графики функций 
и 
(см. рис.). Первый график y1 не зависит от а и имеет вид графика функции 
с вершиной в точке 
График функции 
— прямая, проходящая через начало координат. 
до 
и определять соответствующее количество точек пересечения двух графиков 
Нетрудно видеть, что имеются три критических значения параметра 
и 
при 
график 
а при 
то, как видно из рисунка, графики пересекаются только в одной точке. При 
график 
пересекает график 
в двух точках (т. е. исходное уравнение имеет два решения). При 
график y1). Если 
то графики y1 и y2 не пересекаются. И, наконец, при 
оба графика пересекаются в одной точке.
— нет решений; при 
— 1 решение; при 
— 2 решения.
где 
не является корнем данного уравнения, и, таким образом, оно равносильно уравнению
она принимает один раз, а значения из промежутка 
не принимает вообще. Значение 
функция принимает один раз, каждое значение из интервала 
— два раза, а значение из промежутка 
— один раз. Таким образом, исходное уравнение при 
не имеет решений, при 
имеет одно решение, а при 
распадается на две системы:
и должно выполняться условие
или 
Таким образом, первая система имеет одно решение при 
и не имеет решений при 
Вторая система при 
может иметь одно решение 
если оно удовлетворяет неравенству
имеет одно решение, а при 
решений не имеет. Таким образом, получаем результаты, которые показаны на рисунке, «закрашенная» часть кружочка отвечает случаю существования решения соответствующей системы, — при выделенном значении параметра.
и 
системы имеют разные решения. Мы получаем, таким образом, следующие результаты для количества решений исходного уравнения при каждом значении параметра a (рисунок наглядно это показывает): 
являются точки 
и 
В зависимости от значения а этих точек в действительности либо две, либо три. Значит, необходимо рассмотреть пять случаев.
(рис. а) Применяя метод интервалов, получаем множество решений исходного неравенства 
(рис. в) получим 
(рис. д) получим 
при 
при 
при 
при 
имеет два решения?
и получаем: 
или 
Если a = 1, то уравнение 
не имеет решений. Если 
то 
Решив неравенство 
получаем, что 
принадлежит промежутку 
при 
тогда 
и получаем: 
или 
Если a = −1, то уравнение 
не имеет решений. Если 
Решив неравенство 
приходим к выводу, что 
принадлежит промежутку 
при 
или 
то составим совокупность из систем
при 
при 
причем единственным решением служит пара чисел 
при 
причем решениями системы являются пары: 
и 
или
уравнение (2) превращается в линейное, то значения 
Тогда уравнение (2) является квадратным и 
при любом 
Следовательно, корни уравнения (2) таковы: 
т. е. 
и 
Заметим, что при 
Проверим значения 
которое является верным при 
т. е. при 
Следовательно, 
или при 
в уравнение (1), получаем равенство 
которое является верным при 
т. е. при 
Для 
происходит совпадение x1 и x2. Значит, уравнение (1), а следовательно, и исходная система имеет два решения при 
ложное при любом 
Перепишем уравнение (1) в виде:
функция a(x) монотонно возрастает, принимая все значения из промежутка 
и только их, а при 
функция a(x) монотонно убывает на каждом из промежутков 
и 
принимая все значения из множества 
и только их. Следовательно, значения. которые функция a(x) принимает два раза, заполняют промежуток 
Это и есть искомые значения параметра.
в координатной плоскости xOa (рис. 2). Заметим, что для его построения достаточно знать свойства функции 
где 
изучаемые в Ⅶ классе, и простейшее преобразование графиков функций. Даже без подробного изучения теории пределов внимательный ученик отметит, что 
— вертикальная асимптота; 
и 
— горизонтальные асимптоты, причем если 
то 
для любого 
а если 
то 
при любом 
удовлетворяющие уравнению (1). Поэтому количество решений уравнения (1) по переменной x при каждом значении параметра 
совпадает с количеством точек пересечения прямой l, задаваемой уравнением 
с построенным графиком Из рис. 2 непосредственно видно, что при 
уравнение (1), а следовательно, и исходная система, имеет два решения.
используя в рассуждении семейство прямых 
где 
совпадает с количеством точек пересечения графиков функций 
и 
построенных в одной системе координат. График функции 
не зависит от параметра a, и его называют неподвижным. График функции 
— подвижный, он представляет собой прямую, проходящую через точку 
и имеющую угловой коэффициент a (рис. 3). Поэтому искомыми являются те значения параметра a, при которых подвижный график пересекает неподвижный в двух точках. 
единственность решения при 
и 
два решения при 
целесообразно рассмотреть еще один вариант применения указанного способа (рис. 4). Опять получается наглядная иллюстрация «расслоения» значений параметра a для всех возможных случаев при решении уравнения, a следовательно, и системы.
равны 2 и 5?
Корни этого уравнения −1 и 8.
Корни этого уравнения 2 и 5.
Это уравнение не имеет решений.
имеет единственный корень?
оно имеет единственное решение. Если 
то уравнение является квадратным имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю. Для удобства найдем четверть дискриминанта:
находим 
имеет единственный корень?
то есть 
получаем 
то есть 
имеет хотя бы один корень?
то есть при 
не имеет корней?
где 
Тогда получаем
Рассмотрим функцию 
Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Рассмотрим возможные случаи расположения графика (см. рис.).
меньше нуля. Тогда
и 
и 
где 
является вершиной параболы. Решим систему, составленную из этих неравенств. Получим
и 
Решим систему
и 
Так
на t и, получив квадратное уравнение, рассмотрели только один случай с отрицательным дискриминантом. Такое решение следует считать неверным, поскольку оно не учитывает ограниченности функции 
и 
имеют единственную общую точку?
(или совпадающая с ней при 
и проходящая через точку 
На рисунке видно, что графики функций 
имеют единственную общую точку только в случае, когда прямая является касательной к графику логарифма. 
имеет вид
находим абсциссу точки касания 
затем из равенства 
выполняется для всех значений x?
и рассмотрим неравенство 
Найдем его область определения. Из определения арифметического квадратного корня имеем 
Дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля, следовательно, трехчлен положителен при любых значениях х. Таким образом, областью определения неравенства 
является все множество действительных чисел. Рассмотрим, при каких b это неравенство выполняется для всех х. Если 
то неравенство верно для любых х. Пусть 
Возведем обе части неравенства в квадрат: 
получим 
и 
Поскольку мы рассматриваем случай 
то 
Итак, если 
то неравенство справедливо для любых x. Вернемся к параметру а. Получим
откуда 
уравнение 
не имеет корней?
для любого значения x, то 
Следовательно, уравнение не имеет корней, если 
или
имеет ровно два различных корня?
имеет или минимум, равный нулю (рис. а), или максимум, равный нулю (рис. б). Найдем, при каких значениях a экстремумы равны нулю. Функция определена и дифференцируема на всем множестве действительных чисел: 
Решив уравнение 
найдем точки экстремумов:
откуда имеем 
при 
И 
откуда имеем 
при 
и при 
Многочлен 3-й степени может иметь не более трех разных корней. Так как по условию должно быть ровно два различных корня, то один из корней будет иметь кратность 2, т. е. 
где b и c — корни многочлена; 
где b и c — корни многочлена. Преобразуем к стандартному виду. Для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов и, сопоставляя коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:
тогда уравнение (2) примет вид: 
и 
параметр равен 
при 
и 
параметр равен 
имеет единственный корень?
где 
тогда получаем:
Исходное показательное уравнение имеет единственный корень, если соответствующее ему квадратное уравнение: а) имеет единственный корень и он положительный, б) имеет два различных корня, только один из которых положительный. 
и поскольку этот корень положительный, оба значения параметра подходят. 
получим:
и 
Так как 
при 
оба корня положительны, что противоречит требованию единственности положительного корня. Аналогично не подходит случай 
Рассмотрим случай, когда 
а 
Решим соответствующую систему:
больше нуля, если 
При всех таких таких значениях параметра сумма корней равна 4 (положительна, что и требуется), а произведение корней равно равно свободному члену 
То если при условии 
либо 
либо 
Объединяя эти случаи, получаем:
имеет хотя бы одно решение?
откуда 
откуда 
или 
имеет решения. Зная, что область значений функции 
равна отрезку 
получим два неравенства: первое 
имеет ровно два корня.
входит в произведение два раза. Преобразуем произведение в многочлен стандартного вида. Получим
и получим 
Заметим что для нахождения параметров b и a нет необходимости выражать c. Тогда второе уравнение можно записать так: 
Приведем подобные члены: 
корнями этого уравнения являются числа 3 и −2. Рассмотрим тогда два случая. Первый: при 
тогда 
Второй: при 
имеем 
тогда 
и при 
имеет длину, большую 3?
Если 
то решения неравенства содержатся в промежутке 
Его длина 
Тогда 
при 
то решения неравенства содержатся в промежутке 
Его длина 
тогда 
при 
и домножим обе части уравнения на 
Получим
поэтому для того, чтобы у него были корни, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. Вычислим его:
откуда ответ 
имеет действительные корни.
и 
При этих условиях преобразуем уравнение
Выясним, при каких k уравнение имеет корень 
находим 
т. е. 
и имеет корень 
Осталось перечислить все целые числа с полученного промежутка.
или 
откуда 
Не все вещественные числа удовлетворяю неравенству.
