Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ  спо­соб. Пе­ре­пи­сав урав­не­ние в виде рас­смот­рим на сов­мест­ном ри­сун­ке гра­фи­ки функ­ций и (см. рис.). Пер­вый гра­фик y₁ не за­ви­сит от а и имеет вид гра­фи­ка функ­ции с вер­ши­ной в точке Гра­фик функ­ции   — пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат.

Будем из­ме­нять зна­че­ния па­ра­мет­ра a от до и опре­де­лять со­от­вет­ству­ю­щее ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­че­ния двух гра­фи­ков и Не­труд­но ви­деть, что име­ют­ся три кри­ти­че­ских зна­че­ния па­ра­мет­ра и при гра­фик па­рал­ле­лен одной из вет­вей гра­фи­ка а при пря­мая про­хо­дит через вер­ши­ну гра­фи­ка

При из­ме­не­нии a от до пря­мая по­во­ра­чи­ва­ет­ся по на­прав­ле­нию про­тив ча­со­вой стрел­ки между со­сто­я­ни­я­ми, близ­ки­ми к вер­ти­каль­ным.

Если то, как видно из ри­сун­ка, гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся толь­ко в одной точке. При гра­фик пе­ре­се­ка­ет гра­фик в двух точ­ках (т. е. ис­ход­ное урав­не­ние имеет два ре­ше­ния). При име­ет­ся толь­ко одна точка пе­ре­се­че­ния двух гра­фи­ков (вер­ши­на гра­фик y₁). Если то гра­фи­ки y₁ и y₂ не пе­ре­се­ка­ют­ся. И, на­ко­нец, при оба гра­фи­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

Ответ: при   — нет ре­ше­ний; при   — 1 ре­ше­ние; при   — 2 ре­ше­ния.

Ⅱ  спо­соб. Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде где не яв­ля­ет­ся кор­нем дан­но­го урав­не­ния, и, таким об­ра­зом, оно рав­но­силь­но урав­не­нию

а это урав­не­ние имеет столь­ко же ре­ше­ний, сколь­ко и урав­не­ние

По­стро­им гра­фик функ­ции (см. рис.)

ко­то­рую можно за­пи­сать иначе:

Рас­смот­рим, какие зна­че­ния и сколь­ко раз при­ни­ма­ет дан­ная функ­ция. Из гра­фи­ка хо­ро­шо видно, что каж­дое зна­че­ние из ин­тер­ва­ла она при­ни­ма­ет один раз, а зна­че­ния из про­ме­жут­ка не при­ни­ма­ет во­об­ще. Зна­че­ние функ­ция при­ни­ма­ет один раз, каж­дое зна­че­ние из ин­тер­ва­ла   — два раза, а зна­че­ние из про­ме­жут­ка   — один раз. Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние при не имеет ре­ше­ний, при и имеет одно ре­ше­ние, а при два ре­ше­ния.

Ⅲ  спо­соб. Урав­не­ние рас­па­да­ет­ся на две си­сте­мы:

Пер­вая си­сте­ма при ре­ше­ний не имеет, а при при­мет вид и долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие

т. е. или Таким об­ра­зом, пер­вая си­сте­ма имеет одно ре­ше­ние при и не имеет ре­ше­ний при Вто­рая си­сте­ма при может иметь одно ре­ше­ние если оно удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству

Сле­до­ва­тель­но, вто­рая си­сте­ма при имеет одно ре­ше­ние, а при ре­ше­ний не имеет. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ре­зуль­та­ты, ко­то­рые по­ка­за­ны на ри­сун­ке, «за­кра­шен­ная» часть кру­жоч­ка от­ве­ча­ет слу­чаю су­ще­ство­ва­ния ре­ше­ния со­от­вет­ству­ю­щей си­сте­мы,  — при вы­де­лен­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра.

За­ме­тим, что в силу не­сов­ме­сти­мо­сти не­ра­венств и си­сте­мы имеют раз­ные ре­ше­ния. Мы по­лу­ча­ем, таким об­ра­зом, сле­ду­ю­щие ре­зуль­та­ты для ко­ли­че­ства ре­ше­ний ис­ход­но­го урав­не­ния при каж­дом зна­че­нии па­ра­мет­ра a (ри­су­нок на­гляд­но это по­ка­зы­ва­ет):   — нет ре­ше­ний, и   — одно ре­ше­ние,   — два ре­ше­ния.

За­ме­ча­ние. Уча­щий­ся не обя­зан рас­смат­ри­вать из­ме­не­ние зна­че­ний па­ра­мет­ра в опре­де­лен­ном по­ряд­ке, по­доб­но тому, как мы де­ла­ли при ре­ше­нии этой за­да­чи пер­вы­ми двумя спо­со­ба­ми. На­при­мер, при ре­ше­нии ана­ло­гич­ной за­да­чи ва­ри­ан­та Ⅱ мы на­ме­рен­но не при­дер­жи­ва­ем­ся есте­ствен­но­го упо­ря­до­че­ния. Вме­сте с тем убеж­де­ны, что упо­ря­до­че­ние пе­ре­бо­ра (там, где это воз­мож­но) зна­че­ний пе­ре­мен­ной, па­ра­мет­ра  — весь­ма по­лез­ный и в опре­де­лен­ном смыс­ле не­об­хо­ди­мый прием ра­ци­о­на­ли­за­ции ре­ше­ния за­да­чи и стра­хо­ва­ния от не­ко­то­рых типов оши­бок.