Эту за­да­чу можно ре­шить двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ спо­соб. Рас­смот­рим сна­ча­ла слу­чай, когда Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

При a  =  1 это урав­не­ние не имеет кор­ней а при кор­нем урав­не­ния яв­ля­ет­ся (А). Не­об­хо­ди­мо те­перь вы­де­лить мно­же­ство тех зна­че­ний па­ра­мет­ра а, для ко­то­рых вы­ра­же­ние (А) удо­вле­тво­ря­ет усло­вию Рас­смот­рим не­ра­вен­ство

Из по­след­не­го вы­ра­же­ния ясно, что Итак, на мно­же­стве зна­че­ний пе­ре­мен­но­го х ис­ход­ное урав­не­ние при не имеет ре­ше­ний; при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние (А). Рас­смот­рим те­перь слу­чай Ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид При a  =  −1 это урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, а при имеет ко­рень (Б). Те­перь про­ве­рим вы­пол­не­ние усло­вия

т. е. Таким об­ра­зом, на мно­же­стве зна­че­ний пе­ре­мен­но­го х ис­ход­ное урав­не­ние при не имеет ре­ше­ний; при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние (Б). Рас­смат­ри­вая в делом ре­зуль­та­ты для слу­ча­ев и по­лу­ча­ем, что ис­ход­ное урав­не­ние при не имеет ре­ше­ний; при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние (Б); при имеет два ре­ше­ния (А) и (Б).

Ответ: при урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние:

Ⅱ спо­соб. Оче­вид­но, x  =  1 не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го урав­не­ния ни при каком зна­че­нии По­это­му до­ста­точ­но рас­смот­реть это урав­не­ние на мно­же­стве зна­че­ний пе­ре­мен­но­го х. Пусть   — какой−либо ко­рень ис­ход­но­го урав­не­ния. Тогда (В). Об­рат­но, пусть вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние (В) для не­ко­то­рых двух зна­че­ний па­ра­мет­ра и не­из­вест­но­го. Тогда при этом зна­че­нии па­ра­мет­ра ве­ли­чи­на х  — один из кор­ней ис­ход­но­го урав­не­ния. В част­но­сти, если x₁ и x₂  — корни ис­ход­но­го урав­не­ния при не­ко­то­ром зна­че­нии па­ра­мет­ра a₀, то и От­сю­да сле­ду­ет, что мно­же­ство ис­ко­мых зна­че­ний па­ра­мет­ра со­сто­ит из таких чисел a₀, для каж­до­го из ко­то­рых гра­фик функ­ции (В) пе­ре­се­ка­ет­ся пря­мой a  =  a₀ ровно в одной точке (на плос­ко­сти

Гра­фик функ­ции (В) со­сто­ит из вет­вей двух раз­лич­ных ги­пер­бол (рис. 1): при и при Го­ри­зон­таль­ная асимп­то­та пра­вой ветви гра­фи­ка  — пря­мая x  =  1, левой ветви  — пря­мая x  =  −1. На гра­фи­ке видно, что пря­мая a  =  a₀ пе­ре­се­ка­ет его ровно в одной точке при Един­ствен­ный раз пря­мая a  =  a₀ пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции (В) в его левой части, ко­то­рая за­да­ет­ся урав­не­ни­ем от­ку­да

Таким об­ра­зом, перед нами тот же ответ, что и по­лу­чен­ный 1-й спо­со­бом. (Ясно, что здесь a₀  — вспо­мо­га­тель­ное обо­зна­че­ние для па­ра­мет­ра а).