Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3875
i

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a не­ра­вен­ство  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 10x плюс 26 боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 3, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 8 конец дроби вы­пол­ня­ет­ся для всех зна­че­ний x?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну b= дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 3, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 8 конец дроби и рас­смот­рим не­ра­вен­ство  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 10x плюс 26 боль­ше или равно b. Най­дем его об­ласть опре­де­ле­ния. Из опре­де­ле­ния ариф­ме­ти­че­ско­го квад­рат­но­го корня имеем x в квад­ра­те минус 10x плюс 26 боль­ше или равно 0. Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на мень­ше нуля, сле­до­ва­тель­но, трех­член по­ло­жи­те­лен при любых зна­че­ни­ях х. Таким об­ра­зом, об­ла­стью опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 10x плюс 26 боль­ше или равно b яв­ля­ет­ся все мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел. Рас­смот­рим, при каких b это не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся для всех х. Если b мень­ше 0, то не­ра­вен­ство верно для любых х. Пусть b боль­ше или равно 0. Воз­ве­дем обе части не­ра­вен­ства в квад­рат:

x в квад­ра­те минус 10x плюс 26 боль­ше или равно b в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те } минус 10x плюс 26 минус b в квад­ра­те боль­ше или равно 0.

Трех­член, сто­я­щий в левой части, не­от­ри­ца­те­лен для любых х, если его дис­кри­ми­нант не боль­ше нуля. Тогда 100 минус 4 левая круг­лая скоб­ка 26 минус b в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0, по­лу­чим b в квад­ра­те мень­ше или равно 1 и  минус 1 мень­ше или равно b мень­ше или равно 1. По­сколь­ку мы рас­смат­ри­ва­ем слу­чай b боль­ше или равно 0, то 0 мень­ше или равно b мень­ше или равно 1. Итак, если b мень­ше или равно 1, то не­ра­вен­ство спра­вед­ли­во для любых x. Вер­нем­ся к па­ра­мет­ру а. По­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 3, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 8 конец дроби мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 3 минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 8, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 8 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0.

Ис­поль­зуя метод ин­тер­ва­лов (см. рис.), по­лу­ча­ем  минус 4 мень­ше a мень­ше 2.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус 4; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

За­ме­ча­ние. В вы­ра­же­нии, сто­я­щем под зна­ком корня, можно вы­де­лить пол­ный квад­рат. Со­ста­вим x в квад­ра­те минус 10x плюс 26=x в квад­ра­те минус 10x плюс 25 плюс 1= левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 боль­ше или равно 1, от­ку­да  дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 3, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те плюс 2a минус 8 конец дроби мень­ше или равно 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3881

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1999 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 6 из 10