Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5157
i

Дано не­ра­вен­ство:

 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a плюс 1 боль­ше 0.

При каком зна­че­нии a это не­ра­вен­ство удо­вле­тво­ря­ет­ся любым ве­ще­ствен­ным зна­че­ни­ем x?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Стар­ший ко­эф­фи­ци­ент мно­го­чле­на в левой части не­ра­вен­ства об­ра­ща­ет­ся в нуль при a=1. При таком зна­че­нии па­ра­мет­ра не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид 2x плюс 2 боль­ше 0, от­ку­да x боль­ше минус 1. Не все ве­ще­ствен­ные числа удо­вле­тво­ряю не­ра­вен­ству.

При a мень­ше 1 стар­ший ко­эф­фи­ци­ент от­ри­ца­те­лен. В этом слу­чае гра­фик левой части не­ра­вен­ства пред­став­ля­ет собой па­ра­бо­лу с на­прав­лен­ны­ми вниз вет­вя­ми. Ни при каком зна­че­нии па­ра­мет­ра такая па­ра­бо­ла не лежит це­ли­ком выше оси абс­цисс, по­это­му не­ра­вен­ство не может быть верно для всех зна­че­ний пе­ре­мен­ной.

При a боль­ше 1 стар­ший ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен. Для таких зна­че­ний па­ра­мет­ра гра­фи­ком левой части яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Она це­ли­ком лежит выше оси абс­цисс, если дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на мень­ше нуля:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 1, левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 1,a в квад­ра­те плюс 2a плюс 1 минус 4 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 1, минус 3a в квад­ра­те плюс 2a плюс 5 мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 1,3a в квад­ра­те минус 2a минус 5 боль­ше 0 конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 1, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше минус 1,a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке 22 июня 1942 года, бло­кад­ный Ле­нин­град