Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3503

При каких значениях параметра a уравнение  корень из (x плюс 1) =x плюс a имеет единственное решение?

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу двумя способами.

Ⅰ  способ. Воспользуемся подстановкой  корень из (x плюс 1) =t, где, очевидно, t больше или равно 0. Отсюда x=t в квадрате минус 1. Таким образом, исходное уравнение имеет один корень при тех и только тех значениях а, при которых уравнение t=t в квадрате минус 1 плюс a имеет один неотрицательный корень. Квадратное уравнение

t в квадрате минус t плюс a минус 1=0 \qquad(1)

имеет дискриминант D=1 минус 4a плюс 4=5 минус 4a. Если D=0, т. е. a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , то уравнение (1) имеет один корень t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , который положителен, а следовательно, исходное уравнение при a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби имеет один корень. Если D больше 0, т. е. a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , то уравнение (1) имеет два корня. Если при этом a минус 1 меньше 0, то эти корни разных знаков, т. е. из них только один положительный. Таким образом, при a меньше 1 уравнение (1) имеет один положительный корень, значит, и исходное уравнение имеет один корень. При a=1 уравнение (1) имеет два корня t_1=0 и t_2=1, т. е. и исходное уравнение имеет два корня.

 

Ответ: ( минус принадлежит fty ;1)\cup \left\ дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби \.

 

Ⅱ  способ. Представим исходное уравнение в виде a= корень из (x плюс 1) минус x и рассмотрим функцию a(x)= корень из (x плюс 1) минус x, у которой D(a)=[ минус 1; плюс принадлежит fty ). Исходное уравнение имеет один корень при тех значениях а, которые соответствуют значениям функции а (x), принимаемым ровно один раз. Найдем производную

a'(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (x плюс 1) конец дроби минус 1= дробь: числитель: 1 минус 2 корень из (x плюс 1) , знаменатель: 2 корень из (x плюс 1) конец дроби .

Критическая точка функции a(x) это x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . Далее, a'(0) меньше 0 и a' левая круглая скобка минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка больше 0. Отсюда следует (см. рис.), что на промежутке  левая квадратная скобка минус 1; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка функция a(x) возрастает, а на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка функция a(x) убывает. Далее, a( минус 1)=1, a левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби и a(0)=1. Таким образом, при a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби и при a меньше 1 исходное уравнение имеет ровно одно решение (см. рис.).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3509

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1994 год, работа 7, вариант 1
? Классификатор: Уравнения с параметром
?
Сложность: 6 из 10