При каких значениях параметра a уравнение 
имеет единственное решение?
Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Воспользуемся подстановкой 
где, очевидно, 
Отсюда 
Таким образом, исходное уравнение имеет один корень при тех и только тех значениях а, при которых уравнение 
имеет один неотрицательный корень. Квадратное уравнение
имеет дискриминант 
Если 
т. е. 
то уравнение (1) имеет один корень 
который положителен, а следовательно, исходное уравнение при 
имеет один корень. Если 
т. е. 
то уравнение (1) имеет два корня. Если при этом 
то эти корни разных знаков, т. е. из них только один положительный. Таким образом, при 
уравнение (1) имеет один положительный корень, значит, и исходное уравнение имеет один корень. При 
уравнение (1) имеет два корня 
и 
т. е. и исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: 
Ⅱ способ. Представим исходное уравнение в виде 
и рассмотрим функцию 
у которой 
Исходное уравнение имеет один корень при тех значениях а, которые соответствуют значениям функции а (x), принимаемым ровно один раз. Найдем производную
Критическая точка функции 
это 
Далее, 
и 
Отсюда следует (см. рис.), что на промежутке 
функция a(x) возрастает, а на промежутке 
функция a(x) убывает. Далее, 
и 
Таким образом, при и при исходное уравнение имеет ровно одно решение (см. рис.).
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 3509